Δ-Lemma

Das Δ-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

Aussage

Sei D eine Familie von Mengen, und d eine weitere Menge. D heißt ein Δ-System mit Wurzel d, falls gilt:

• $\forall x\neq y\in D: x\cap y=d$, der Schnitt zweier Mengen aus D ist also konstant.

Das Δ-Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares Δ-System.

Verallgemeinerung

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien λ < μ Kardinalzahlen mit

• μ ist regulär: μ = cf(μ)
• Für alle α < μ gilt: α ^{< λ} < μ,

dann gibt es für jede Familie I mit $\left|I\right|=\mu$ und $\left|a\right|<\lambda$ für $a\in I$ ein Δ-System der Mächtigkeit μ. Setzt man $\lambda=\aleph_0$ und $\mu=\aleph_1$, so erhält man obigen Spezialfall.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.