Überabzählbarkeit

Eine Menge heißt überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist. Dabei heißt eine Menge abzählbar, wenn sie entweder endlich ist oder eine Bijektion zur Menge der natürlichen Zahlen existiert. Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (Anzahl ihrer Elemente) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.

Anschaulich gesprochen ist eine Menge überabzählbar, wenn jede Liste $x_1, x_2, x_3, \ldots$ von Elementen der Menge unvollständig ist.

Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Cantors zweites Diagonalargument ist ein Widerspruchsbeweis, mit dem er 1877 die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen bewies. (Das erste Diagonalargument ist der Beweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen.)

Im Gegensatz zur allgemeinen Meinung ist dieser Beweis nicht Cantors erster Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Cantors erster Überabzählbarkeitsbeweis wurde 1874, drei Jahre vor seinem zweiten Diagonalargument, veröffentlicht. Der erste Beweis arbeitet mit anderen Eigenschaften der reellen Zahlen und kommt ganz ohne ein Zahlensystem aus.

Vergleich der Mächtigkeit einer Menge und ihrer Potenzmenge

Mit einer Verallgemeinerung des Cantorschen Verfahrens kann man zeigen, dass die Menge aller Teilmengen einer Menge M, die so genannte Potenzmenge P(M) von M überabzählbar ist, wenn M unendlich viele Elemente hat. Genauer: Man kann zeigen, dass P(M) eine höhere Mächtigkeit hat als M. Mit Hilfe der Potenzmenge lassen sich unendlich viele verschiedene Klassen von Unendlichkeit konstruieren.

Nach der Kontinuumshypothese gibt es keine überabzählbaren Mengen, deren Mächtigkeit kleiner als die der reellen Zahlen ist. Es konnte jedoch gezeigt werden, dass diese Hypothese grundsätzlich nicht entscheidbar ist.

Konstruktive Mathematik

Eine Minderheit von Mathematikern, die vom Standpunkt der konstruktiven Mathematik her argumentieren, lehnt es ab, von überabzählbaren Mengen zu sprechen. So könne von der Existenz einer reellen Zahl, z. B. als Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen, erst dann gesprochen werden, wenn eine Vorschrift zur Darstellung dieser Zahl angegeben wird. Die Menge solcher Vorschriften sei aber wiederum abzählbar – und damit auch die Menge der dadurch erzeugbaren Zahlen.

Die Gültigkeit von Cantors zweitem Diagonalargument wird dabei nicht bestritten. Jede gegebene Liste (zum Beispiel) reeller Zahlen ist offenbar unvollständig. Aus konstruktiver Sicht heißt dies nichts weiter, als dass sie sich stets zu einer neuen Liste erweitern lässt (die weiterhin abzählbar und nach wie vor unvollständig ist).