Diskalgebra

Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition

Bezeichnet $\mathbb{D}:=\{z\in \C;\, |z|\le 1\}$ die Kreisscheibe, so sei $A(\mathbb{D})$ die Menge aller stetigen Funktionen $f:\mathbb{D}\rightarrow \C$, die im Inneren $\mathbb{D}^\circ$ holomorph sind.

Die Definitionen

$\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z) &:=& \lambda f(z) \\ (f+g)(z) &:=& f(z)+g(z)\\ (fg)(z) &:=& f(z)g(z)\\ (f^*)(z) &:=& \overline{f(\overline{z})}\\ \end{array}$,

wobei $\lambda\in \C, z\in \mathbb{D}, f,g \in A(\mathbb{D})$, machen $A(\mathbb{D})$ zu einer komplexen Algebra mit Involution * , zur sogenannten Diskalgebra.^[1]

Offenbar ist $A(\mathbb{D})$ eine Unteralgbra der Funktionenalgebra $C(\mathbb{D})$ der stetigen Funktionen $\mathbb{D}\rightarrow \C$. $A(\mathbb{D})$ ist bzgl. der Supremumsnorm, die $C(\mathbb{D})$ zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen sind wieder holomorph. $A(\mathbb{D})$ ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt es gilt $\|f^*\| = \|f\|$ für alle $f\in A(\mathbb{D})$. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von $H^{\infty}$, der Banachalgebra aller auf $\mathbb{D}^\circ$ holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand $\partial \mathbb{D}$ von $\mathbb{D}$ erhält man eine Abbildung $A(\mathbb{D})\rightarrow C(\partial \mathbb{D}), \, f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}$. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man $A(\mathbb{D})$ auch als Unterbanachalgebra von $C(\partial \mathbb{D})$ auffassen. $A(\mathbb{D})$ ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf $\partial \mathbb{D}$, die sich holomorph nach $\mathbb{D}^\circ$ fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von $\mathrm{id}_\mathbb{D}$ erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst. ^[2]

Der Gelfandraum

Für jedes $z\in \mathbb{D}$ ist die Punktauswertung $\delta_z:A(\mathbb{D})\rightarrow \C,\, f\mapsto f(z)$ ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums $X_{A(\mathbb{D})}$ der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den δ_z bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung $\delta:\mathbb{D}\rightarrow X_{A(\mathbb{D})},\, z\mapsto \delta_z$ ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf $X_a\subset A^'$ gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

Auf dem Gelfandraum X_A einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

$\overline{E} := \{\delta\in X_A;\, \ker(\delta) \supset \bigcap_{\phi\in E}\ker(\phi)\}$

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.^[3] In der Tat ist bei der Identifikation $X_{A(\mathbb{D})} = \mathbb{D}$ die Menge $E:= \{0\}\cup\{\frac{1}{n};\, n\in \N\}$ abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun $f\in\bigcap_{n\in \N}\ker(\delta_{\frac{1}{n}})$, so folgt $f(\frac{1}{n})=0$ für alle n, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt f = 0. Daher ist $\bigcap_{\phi\in E}\ker(\phi) = \{0\}$ und es folgt $\overline{E}=X_A$ bzgl. der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand

Identifiziert man $X_{A(\mathbb{D})}$ mit $\mathbb{D}$, so fällt der topologische Rand $\partial \mathrm{D}=\{z\in \C;\, |z|= 1\}$ mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgbera, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.^[4]

Einzelnachweise

1. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
2. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
3. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
4. ↑ F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1