Identitätssatz für holomorphe Funktionen

Der Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie. Er besagt, dass aufgrund der starken Einschränkungen an holomorphe Funktionen oft schon die lokale Gleichheit zweier solcher Funktionen ausreicht, um diese auch global zu fordern.

Identitätssatz

Seien f und g holomorphe Funktionen auf einer Umgebung U von z₀ und sei z₀ ein Häufungspunkt der Koinzidenzmenge $\{z \in U|f(z)=g(z)\}$, dann existiert eine Umgebung V von z₀ mit f(z) = g(z) auf ganz V.

Identitätssatz für Gebiete

Für Gebiete, insbesondere da sie zusammenhängend sind, lässt sich die Aussage des Identitätssatzes leicht verschärfen.

Aussage

Seien $G \subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet und f und g auf diesem Gebiet holomorphe Funktionen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• f(z) = g(z) für alle $z \in G$, das heißt die Funktionen stimmen auf dem ganzen Gebiet überein.
• Die Koinzidenzmenge $\{z \in G|f(z)=g(z)\}$ hat einen Häufungspunkt in G.
• Es gibt ein $z \in G$, so dass f⁽ⁿ⁾(z) = g⁽ⁿ⁾(z) für alle $n \in \mathbb{N}_0$, das heißt in einem Punkt von G stimmen die Funktionen und alle ihre Ableitungen überein.

Beispiel

Beim zweiten Punkt ist es essentiell, dass der Häufungspunkt im Gebiet G und nicht auf dessen Rand liegt. Betrachte dazu folgendes Beispiel:

Die Funktion $\sin (\tfrac{1}{z})$ ist holomorph auf $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, die Folge $z_n=\tfrac{1}{n\pi}$ liegt darin und konvergiert gegen 0. Also ist 0 ein Häufungspunkt der Folge (z_n) und es gilt $\sin(\tfrac{1}{z_n}) = \sin(n\pi) = 0$, aber natürlich gilt auch $\sin(\tfrac{1}{z}) \not\equiv 0$. Also stimmt $\sin ( \tfrac{1}{z})$ auf der Menge der z_n (die den Häufungspunkt 0 besitzt) mit der Nullfunktion überein, aber offensichtlich nicht auf ganz $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Folgerungen

Eine wesentliche Folgerung aus dem Identitätssatz ist die eindeutige Fortsetzbarkeit reeller Funktionen:

Kann man eine reelle Funktion holomorph auf die komplexe Ebene fortsetzen (dies ist eventuell nicht möglich), so ist diese Fortsetzung eindeutig. Der komplexe Sinus ist daher wirklich die einzige holomorphe Fortsetzung des reellen Sinus. Insbesondere gelten auch die Additionstheoreme für den komplexen Sinus.

Ein Sonderfall des Identitätssatzes für Gebiete, der sehr häufig angewendet wird, ergibt sich mit g = 0:

Hat die Nullstellenmenge von f in einem Gebiet G einen Häufungspunkt, so gilt $f\equiv 0$ auf ganz G.

Der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet G ist nullteilerfrei, d.h. aus $fg\equiv 0$ folgt stets $f\equiv 0$ oder $g\equiv 0$. Seien hierzu $f,g\colon G\to\mathbb{C}$ holomorph mit $f\not\equiv 0$ und $fg\equiv 0$. Dann gibt es einen Punkt z₀ in G und eine Umgebung U von z₀ mit $f(z)\neq 0$ für alle $z\in U$. Dann gilt aber $g|_U \equiv 0$, und somit $g\equiv 0$ nach dem Sonderfall.

Literatur

• E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4