Schilow-Rand

Schilow-Rand

Der Schilow-Rand (nach Georgi Schilow, nach englischer Transkription auch Shilov-Rand ) ist ein mathematisches Konzept aus der Theorie der kommutativen \C-Banachalgebren. Damit wird eine Version des aus der Funktionentheorie bekannten Maximumprinzips auf kommutative Banachalgebren übertragen.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Der Einfachheit beschränken wir uns auf kommutative Algebren mit Einselement. Es seien X ein kompakter Hausdorffraum und A\subset C(X) eine Unteralgebra der Banachalgebra C(X) der stetigen Funktionen X\rightarrow \C mit folgenden Eigenschaften:

  • 1\in A, das heißt A enthält die konstante Funktion 1,
  • \forall x\not=y \in X: \exists a\in A: a(x) \not= a(y), das heißt A trennt die Punkte von X

Man sagt dann kurz, A sei eine Funktionenalgebra auf X.

Eine abgeschlossene Teilmenge E\subset X heißt maximierend (für A), falls für alle Funktionen a\in A Folgendes gilt:  \sup\{|a(x)|; x\in X\} = \sup\{|a(x)|; x\in E\}.

Ist zum Beispiel X=D:=\{z\in \C;\, |z|\le 1\} die Kreisscheibe und A die Diskalgebra, das heißt die Algebra aller stetigen Funktionen auf D, die im Inneren D^\circ holomorph sind, so ist wegen des Maximumprinzips der Funktionentheorie jede abgeschlossene Teilmenge, die den Rand \partial D enthält, eine maximierende Menge. Insbesondere ist \partial D die kleinste maximierende Menge.

Schilow-Rand für Funktionenalgebren

Das Beispiel der Diskalgebra verallgemeinert sich zu folgendem auf Schilow zurückgehenden Satz:

  • Sind X ein kompakter Hausdorffraum und A eine Funktionenalgebra auf X, so ist der Durchschnitt aller maximierenden Mengen für A nicht leer und wieder maximierend.

Insbesondere gibt es also eine kleinste maximierende Menge. Diese nennt man den Schilow-Rand der Funktionenalgebra A, übliche Bezeichnungen sind S(A), \check{S}(A) oder \partial A.

Schilow-Rand für kommutative Banachalgebren

Sei A eine kommutative \C-Banachalgebra mit Einselement. Der Gelfand-Raum XA ist bekanntlich ein kompakter Hausdorffraum und die Gelfand-Transformation A\rightarrow C(X_A) bildet A auf eine Funktionenalgebra \hat{A} auf XA ab. Der Schilow-Rand der Funktionenalgebra \hat{A} wird Schilow-Rand von A genannt und ebenfalls mit S(A), \check{S}(A) oder \partial A bezeichnet.

Beispiele

  • Der Gelfand-Raum der Diskalgebra A ist die Menge der Punktauswertungen \delta_z:A\rightarrow \C,\, a\mapsto \delta_z(a) := a(z) und die Abbildung D\rightarrow X_A,\,z\mapsto \delta_z ist ein Homöomorphismus. Identifiziert man D mittels dieses Homöomorphismus mit XA, so A=\hat{A} und es ist \partial A = \partial D.
  • Sei X:=\{(z,w)\in\C^2;\, |z|\le1, |w|\le 1\} der Bizylinder mit Radius (1,1). A sei die von allen Polynomen in zwei Variablen erzeugte Unter-Banachalgebra von C(X). Man kann zeigen, dass der Gelfand-Raum von A die Menge der Punktauswertungen \delta_x:A\rightarrow \C, a\mapsto a(x) für x\in X ist und dass X\rightarrow X_A, x\mapsto \delta_x eine Homöomorphismus ist. Man kann also wie oben X mit XA identifizieren. Dann kann man zeigen, dass \partial A = \{(z,w)\in X;\, |z|=1=|w|\}. In diesem Fall ist der Schilow-Rand kleiner als der topologische Rand von X in \C^2.
  • Ist X ein kompakter Hausdorffraum und A = C(X), so ist \partial A = X_A.

Bemerkungen

Ist A eine kommutative \C-Banachalgebra mit Einselement, so gilt für die Gelfand-Transformierte \hat{a}:X_A\rightarrow \C, dass \sup\{|\hat{a}(\varphi)|;\,\varphi \in X_A\} \,=\, \sup\{|\hat{a}(\varphi)|;\,\varphi \in \partial A\}. Das folgt direkt aus den Definitionen, den \partial A ist eine maximierende Menge der Funktionenalgebra \hat{A}. Die Gelfand-Transformierten erfüllen damit ein Maximumprinzip bzgl. des Schilow-Randes.

Bekanntlich gilt für das Spektrum σ(a) von a\in A die Formel \sigma(a)=\hat{a}(X_A). Bezüglich der Ränder der Spektren gilt die Formel \partial \sigma(a) \subset \hat{a}(\partial A).

Literatur

  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862

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