- Hebungsbaum
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Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms
, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo pk des Polynoms, zu verstehen. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.
Inhaltsverzeichnis
Bezeichnung
Sei
ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei
die Ebene des Hebungsbaumes.
Sei
. Ist
, so sagen wir, a ist eine Nullstelle von f(X) in Z / pk oder modulo pk.
Sei
eine Nullstelle von f(X) modulo pk. Sei
. Ist
eine Nullstelle von f(X) modulo pk + l und ist
, dann sagen wir, dass b eine Nullstelle modulo pk + l ist, die die Nullstelle a modulo pk hebt.
Beschreibung
In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in Z / pk eingetragen, wobei
die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.
Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem k wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.
In der untersten und damit ersten Ebene (k = 1) werden alle Nullstellen des Polynoms in Z / p eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall [0,p − 1] an.
In der darüberliegenden zweiten Ebene (k = 2) werden alle Nullstellen des Polynoms in Z / p2 eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall [0,p2 − 1] an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in Z / p, so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.
In der nächsthöhergelegenen Ebene (k = 3) werden alle Nullstellen des Polynoms in Z / p3 eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall [0,p3 − 1] an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in Z / p2, so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.
Dies gilt für alle folgenden Ebenen
.
Beispiel
Sei das Polynom
- f(x) = x4 − 3x3 − 3x2 + x − 1
gegeben. Sei p = 5 prim.
Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:
In der ersten Ebene (k = 1) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall [0,4]. In der zweiten Ebene (k = 2) sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall [0,24] vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene (k = 3) sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall [0,124]. Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle a = 3 in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle a = 3 aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.
Analog für die dritte Ebene.
Quellen
- Helmut Koch: Zahlentheorie - Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997
- http://www.iaz.uni-stuttgart.de/LstZahltheo/Kuenzer/compprak/copra.pdf
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