Cassini-Kurve

Die Cassinische Kurve (benannt nach Giovanni Domenico Cassini) ist der Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten (c,0) und ( − c,0) gleich a² ist. Ein Spezialfall der Cassinischen Kurve ist die Lemniskate.

Gleichungen

Die Kurve lässt sich in kartesischen Koordinaten durch die Gleichung

$(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4\qquad a>0,c>0$

beschreiben. In Polarkoordinaten lautet die Gleichung

$r^2=c^2\cos(2\varphi)\pm\sqrt{c^4\cos^2(2\varphi)+(a^4-c^4)}\qquad a>0,c>0.$

Form der Kurve

Die Form der Cassinischen Kurve lässt sich in fünf Fälle unterscheiden:

1. Fall

Für $a>c\sqrt{2}$ ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval. Ihre Schnittpunkte mit der x-Achse liegen in diesem Fall bei $(\pm\sqrt{a^2+c^2},0)$, die Schnittpunkte mit der y-Achse bei $(0,\pm\sqrt{a^2-c^2})$.

2. Fall

Für $a=c\sqrt{2}$ ergibt sie wieder ein ellipsenförmiges Oval. Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen nun bei $(\pm c\sqrt{3},0)$. An den Schnittpunkten mit der y-Achse bei $(0,\pm c)$ ist die Krümmung der Kurve gleich 0.

3. Fall

Für $c<a<c\sqrt{2}$ ergibt sich ein eingedrücktes Oval mit den gleichen Achsenabschnitten wie im Fall $a>c\sqrt{2}$. Neben den beiden y-Achsenabschnitten sind die weiteren Extrema der Kurve an den Punkten $\left(\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm\frac{a^2}{2c} \right)$. Die vier Wendepunkte liegen bei $\left(\pm\sqrt{\frac{1}{2}(m-n)},\pm\sqrt{\frac{1}{2}(m+n)}\right)$ mit $m=\sqrt{\frac{a^4-c^4}{3}}$ und $n=\frac{a^4-c^4}{3c^2}$.

4. Fall

Für a = c ergibt sich die Lemniskate.

5. Fall

Für a < c ergeben sich zwei Ovale um die Punkte (c,0) und ( − c,0). Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei $(\pm\sqrt{a^2+c^2},0)$ bzw. $(\pm\sqrt{a^2-c^2},0)$. Die Extrema sind an den Punkten $\left(\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c},\pm\frac{a^2}{2c}\right)$.

Weblink

• "Mathematik verstehen"

Literatur

• Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, 3-8171-2006-0