Catalan’sche Vermutung

Die catalansche Vermutung ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie geht von der Beobachtung aus, dass man außer den Potenzen 2³ = 8 und 3² = 9 keine weiteren Potenzen kennt, die sich um genau 1 unterscheiden. Eugène Charles Catalan stellte 1844 die nach ihm benannte catalansche Vermutung auf, wonach es keine weiteren Potenzen mit dieser Eigenschaft gibt:

Die einzige ganzzahlige Lösung der Gleichung x^p − y^q = 1 mit x,p,y,q > 1 lautet x = 3, p = 2, y = 2 und q = 3.

Erst nach über 150 Jahren wurde diese Vermutung 2002 von Preda Mihăilescu bewiesen.

Geschichte

Schon vor Catalan beschäftigte man sich mit verwandten Problemen. Ca. 1320 bewies Levi ben Gershon (1288–1344; auch unter dem Namen Gersonides bekannt): Wenn Potenzen von 2 und 3 sich um 1 unterscheiden, dann sind 8 und 9 die einzigen Lösungen.

Leonhard Euler (1707–1783) zeigte, dass es für a² − b³ = 1 nur die Lösung a = 3 und b = 2 gibt.

Catalans Vermutung verallgemeinert Eulers Gleichung auf allgemeine Potenzen. Seine Vermutung wurde 1844 im „Journal für die reine und angewandte Mathematik“ als Leserbrief veröffentlicht.^[1]

Später fand man einige interessante Teilergebnisse für den Fall, dass Catalans Behauptung nicht zutrifft, d. h. dass es weitere nichttriviale Lösungen der Gleichung gibt.

So zeigte 1976 Robert Tijdeman, dass höchstens endlich viele Zahlen die Gleichung erfüllen.

1998 zeigte Ray Steiner folgende Eigenschaft für eine mögliche Lösung: Entweder p und q erfüllen gewisse Teilbarkeitsbedingungen (class number condition) oder p und q sind doppelte Wieferich-Primzahlen, d. h., sie genügen der Bedingung

$p^{q-1} \equiv 1 \ {\rm mod} \ q^2$ und $q^{p-1} \equiv 1 \ {\rm mod} \ p^2$

Maurice Mignotte gab im Jahr 2000 eine obere Grenze für Lösungen q und p an: q < 7,15 * 10¹¹, p < 7,78 * 10¹⁶.

Im April 2002 gelang dem damals an der Universität Paderborn beschäftigten Preda Mihăilescu schließlich der Beweis der catalanschen Vermutung, womit diese den Status eines mathematischen Satzes erhielt.

Einzelnachweis

1. ↑ Eugène Charles Catalan: Note. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, 192. 1844

Literatur

• Preda Mihailescu: Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture. J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167--195
• Christoph Pöppe: Der Beweis der Catalan'schen Vermutung. In: Omega. Das Magazin für Mathematik, Logik und Computer. (Spektrum der Wissenschaft Spezial 4/2003) Spektrumverlag, Heidelberg 2003, S. 64–67

Weblinks

• http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
• http://www.welt.de/print-wams/article604626/Geniestreich_eines_spaet_Berufenen.html