Inhaltskette

Unter einer Inhaltskette (auch Aliquot-Folge von engl. aliquot sequence) versteht man eine Kette iterativer Zahleninhalte (der Zahleninhalt einer Zahl ist die Summe ihrer echten Teiler), die dann endet, wenn sie periodisch wird (falls überhaupt).^[1] Beispielsweise ist {10, 8, 7, 1, 0} die Inhaltskette von 10, denn:

s(10) = 5 + 2 + 1 = 8

s(8) = 4 + 2 + 1 = 7

s(7) = 1

s(1) = 0

Natürliche Zahlen, die über Inhaltsketten in der gleichen Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) enden/terminieren, bilden eine Primzahlfamilie (engl. prime family), kurz auch P-Familie (engl. p-family) genannt. Eine Ringfamilie (engl. cycle family), kurz auch R-Familie genannt (engl. c-family), terminiert in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen.

Die Catalan-Dickson-Vermutung (benannt nach Eugène Charles Catalan und Leonard Eugene Dickson) besagt, dass jede Inhaltskette in einer Primzahl (abgesehen von der 0 und 1) oder in einem Ring vollkommener, befreundeter oder geselliger Zahlen terminiert. Diese ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.

Die Längen der Inhaltsketten für n = 1, 2, ... ausgenommen vom Startwert, sind 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, ... (Folge A044050 in OEIS).
Die Inhaltsketten von 25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, ... (Folge A063769 in OEIS) terminieren in einer perfekten Zahl.
Die Inhaltsketten von 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ... (Folge A080907 in OEIS) terminieren in der 0.

Inhaltsketten können beispielsweise in der factoring database geniert werden. Dort werden perfekte Zahlen aber fälschlich zweifach aufgezählt. Außerdem werden die 1 und 0 nicht dazugezählt.

Formale Definition

Seien

$s(n)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sigma (n)-n$

und

$s^0(n)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ n,\ s^1(n)=s(n),\ s^2(n)=s(s(n)),\ \ldots$,

wobei σ die Teilerfunktion ist. Dann wird die Folge

{a_x = s^x(n)}_{x = 0},

die dann endet, wenn sie periodisch wird (falls überhaupt), Inhaltskette mit dem Startwert n oder Inhaltskette von n genannt.

Lehmer-Six und -Five

Die ersten sechs offenen (nicht vollständig berechneten) Ketten im Intervall [1, 1000] wurden nach dem Ehepaar Derrick Lehmer und Emma Lehmer Lehmer-Six genannt. Ihre Startzahlen waren 276, 552, 564, 660, 840 und 966.

Die Kette mit der Startzahl 840 ist nun vollständig bekannt. Sie terminiert in der Primzahl 601, gefolgt von 1 und 0. Die restlichen 5 offenen Ketten werden nun Lehmer-Five genannt. Die Kette mit der Startzahl 276 wurde bis s¹⁶⁶¹(276) = 828579689207854231700104280392137451390009094307100079055497138748077003429376547829092101844491763309481122250886156621164877126867618972297907847860949694119802 berechnet. Abgesehen von 2, 3² und 17 sind keine weiteren Primfaktoren mehr bekannt. Die Kette mit der Startzahl 552 ist bis zu s¹⁰⁰⁰(552) = 2794872109104142939547040872964671736140257182466402607234754288301809152153432092781830003844507869549816694690620457413683217553432931111904090024134787039805079744 = 2⁶ · 3² · 23 · 3386311 · ? bekannt, die Kette mit der Startzahl 564 bis zu s³³³¹(564) = 62480132633545725517909281438721367091842001184520349840724510325207881275036412684818098341758828567208076019524744242876290219121978072647629225267249508248342007605868 = 2² · 3² · 7 · 83 · ?, die Kette mit der Startzahl 660 bis zu s⁸⁶⁸(660) = 16788048498108629410245989258167410533133694355609925867939682790692192589086073968208670999907251359882905744795251057874406030687132867210822582738876902402909209285299640 = 2³ · 3³ · 5 · 130241801411 · 16005149345444515675217297 · ? und die Kette mit der Startzahl 966 bis zu s⁸³⁰(966) = 416972214461346415624349922965959741224644564312867092205292393763956854903020121271060952565951183457861634303355328940722929059955235489819461527450056524348602344 = 2³ · 3 · 61 · ?.

Außerdem gibt es im Intervall [1, 10000] zurzeit 81 offene Ketten, in [1, 100000] 902 und in [1, 10⁶] 9312. Für diese Ketten gibt es keine durchgesetzte Bezeichnung.

Genierung in Excel

Inhaltskette von 1000

Inhaltsketten können in Microsoft Excel geniert werden. Hierzu muss der Startwert in B3 eingetragen werden. Die Formel zur Genierung muss in B4 eingetragen werden:

=WENN(MIN(B$3:B3)=0;"";SUMME((REST(B3;ZEILE(INDIREKT("1:"&B3)))=0)*ZEILE(INDIREKT("1:"&B3)))-B3)

Diese Formel kann nach Belieben runterkopiert werden.

Um die genaue Funktion der Formel zu veranschaulichen geben wir in B3 die 12 ein.

Der erste Teil, WENN(MIN(B$3:B3)=0;"";, dient zur Vermeidung einer Fehlermeldung, die erscheint, falls in der Kette eine 0 auftaucht. Ohne dies reduziert sich die Formel auf:

=SUMME((REST(B3;ZEILE(INDIREKT("1:"&B3)))=0)*ZEILE(INDIREKT("1:"&B3)))-B3)

ZEILE(INDIREKT("1:"&B3)) dient dazu, ein Array mit den Zahlen von 1 bis zur Größe der Zahl in B3 zu erzeugen. Da hier der konkrete Fall von B3 = 12 angesprochen wird, reduziert sich die Formel weiter auf:

=SUMME((REST(12;ZEILE(1:12))=0)*ZEILE(1:12))-B3

ZEILE(1:12) ist ein Platzhalter für die Zahlen 1 bis 12. Markiert man den Teil (REST(12;ZEILE(1:12))=0) und bestätigt die Taste F9 sieht man:

{WAHR;WAHR;WAHR;WAHR;FALSCH;WAHR;FALSCH;FALSCH;FALSCH;FALSCH;FALSCH;WAHR}

Das heißt: 12 dividiert durch alle Zahlen von 1 bis 12 ergibt den Rest 0, also WAHR bei 1, 2, 3, 4, 6 und 12.

Nun werden diese WAHR (1) und FALSCH (0) mit ZEILE(1:12) multipliziert und man sieht nach dem Drücken von F9:

{1;2;3;4;0;6;0;0;0;0;0;12}

Das summiert ergibt 28 und davon die ursprüngliche Zahl 12 subtrahiert ergibt 16, den Zahleninhalt von 12.

Literatur

• Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory, ISBN 0-387-20860-7
• Wolfgang Creyaufmüller: Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich von 1 bis 3000 im Detail, ISBN 3-9801032-2-6
• Fleckenstein, Fricke, Georgi: Excel - Das Rätselbuch für Excel-Fans, Seite 100, ISBN 978-3-8272-4244-0

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inhaltskette. In: MathWorld. (englisch)
• Inhaltskette in The Prime Glossary
• Inhaltsketten von Wolfgang Creyaufmüller
• Inhaltsketten von Paul Zimmermann

Referenzen

1. ↑ Hinweis: Dieser Artikel behandelt Inhaltsketten, die sich auf die Menge $\mathbb{Z^+}$ beschränken.