Isogenie

In der Algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus $\phi: A\rightarrow B$ von Abelschen Varietäten A und B eine Isogenie, wenn ϕ surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie $\phi: A\rightarrow B$, so heißen die Abelschen Varietäten A und B isogen.

Definition

Sind A und B Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus $\phi: A\rightarrow B$ äquivalent^[1]:

• ϕ ist eine Isogenie, das heißt ϕ ist surjektiv und der Kern von ϕ ist endlich.
• A und B besitzen die gleiche Dimension und ϕ ist surjektiv.
• A und B besitzen die gleiche Dimension und der Kern von ϕ ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man A und B isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise

1. ↑ James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

Literatur

• Serge Lang: Abelian Varieties. Springer Verlag, New York 1983, ISBN 3-540-90875-7 (englisch).
• David Mumford: Abelian Varieties. Oxford University Press, London 1974, ISBN 0-19-560528-4 (englisch).