Artin-Schreier-Theorie

Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik p beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten p und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.^[1]

Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p

Sei K ein Körper der Charakteristik p. Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom

f_a(X) = X^p − X − a

für ein $a\in K$. Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für $c\in\mathbb{F}_p=\Z/p\Z$ ist f_a(X + c) = f_a(X). Daraus ergibt sich: Ist ω eine Nullstelle von f_a(X) in einem Erweiterungskörper von K, dann sind die weiteren Nullstellen $\omega+1,\omega+2,\dots,\omega+(p-1)$. Hat f_a(X) keine Nullstelle in K, ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper K(ω) / K ist galoissch mit Galois-Gruppe $\Z/p\Z$, erzeugt von $\omega\mapsto\omega+1$.

Sei umgekehrt L / K eine Galois-Erweiterung vom Grad p und σ ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein $x\in L$, so dass $x,\sigma x,\dots,\sigma^{p-1} x$ eine Basis von L als K-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur

$\text{Spur}_{L/K}(x)=x+\sigma x+\dots+\sigma^{p-1} x$

nicht 0. Setze

$\omega=-\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)} \sum_{k=1}^{p-1} k\cdot\sigma^k x$

Dann ist

$\begin{align} \sigma(\omega) &= -\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)} \sum_{k=1}^{p-1} k\cdot\sigma^{k+1} x \\ &= -\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)}\left( \sum_{k=0}^{p-1}(k+1)\cdot\sigma^{k+1} x - \sum_{k=0}^{p-1} \sigma^{k+1} x \right) \\ &= -\frac{1}{\text{Spur}_{L/K}(x)} \sum_{k=1}^p k\cdot\sigma^k x + 1 \\ &= \omega + 1 \end{align}$

Damit ist

σ(ω^p − ω) = (σω)^p − σω = (ω + 1)^p − (ω + 1) = ω^p − ω

Damit ist a = ω^p − ω invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in K.

Das so konstruierte Element $a\in K$ hängt von der Wahl von x ab, aber in kontrollierter Weise: Ist $\omega_1\in L$ ein anderes Element mit σω₁ = ω₁ + 1, dann ist σ(ω − ω₁) = (ω + 1) − (ω₁ + 1) = ω − ω₁, also ist ω₁ = ω + d mit einem Element $d\in K$, und

$\omega_1^p-\omega_1=(\omega+d)^p-(\omega+d)=\omega^p+d^p-\omega-d=a+(d^p-d)$

Folglich ist die Restklasse von a modulo $\{d^p-d: d\in K\}$ eindeutig bestimmt.

Resultate

Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0.

• Sei $\wp K=\{d^p-d: d\in K\}$. Die Abbildung, die einem Element $a\in K$ den Zerfällungskörper des Polynoms X^p − X − a zuordnet, induziert eine Bijektion von $(K/\wp K)\setminus\{0\}$ auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von K vom Grad p.

Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:^[2]

• Sei K^sep ein separabler Abschluss von K und $\wp: K^\text{sep}\to K^\text{sep}$ der additive Gruppenhomomorphismus $x\mapsto x^p-x$. Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von $K/\wp K$ und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von K vom Exponenten p (d.h. für jedes Element σ der Galoisgruppe gilt σ^p = id): Eine Untergruppe von $\Delta\subseteq K/\wp K$ werde mit ihrem Urbild in K identifiziert. Dann ist $K(\wp^{-1}(\Delta))/K$ die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten p. Für endliche Untergruppen $\Delta\subseteq K/\wp K$ ist $[K(\wp^{-1}(\Delta)):K]=|\Delta|$. Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung L / K die Gruppe $(K\cap\wp L)/\wp K$ zu.

Galoiskohomologische Interpretation

Sei weiterhin K ein Körper der Charakteristik p, K^sep ein separabler Abschluss von K und $\wp: K^\text{sep}\to K^\text{sep},\ x\mapsto x^p-x$. Sei außerdem G_K = Gal(K^sep / K) die absolute Galoisgruppe von K. Das Polynom X^p − X − a ist für jedes $a\in K^\text{sep}$ separabel, weil seine Ableitung pX^{p − 1} − 1 = − 1 ist. Deshalb ist der Homomorphismus $\wp: K^\text{sep}\to K^\text{sep}$ surjektiv. Sein Kern ist $\mathbb{F}_p=\Z/p\Z$. Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von G_K-Moduln:

$0 \to \Z/p\Z \to K^\text{sep} \stackrel{\wp}{\longrightarrow} K^\text{sep} \to 0$

Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz

$0 \to \Z/p\Z \to K \stackrel{\wp}{\longrightarrow} K \to \text{Hom}(G_K,\Z/p\Z) \to H^1(G_K, K^\text{sep}) = 0$

Dabei wurde verwendet:

• H⁰(G_K,K^sep) = K
• $H^1(G_K, \Z/p\Z)=\text{Hom}(G_K, \Z/p\Z)$ (stetige Homomorphismen), weil G_K trivial auf $\Z/p\Z$ operiert
• H¹(G_K,K^sep) = 0, weil $H^1(G_K, K^\text{sep})=\varinjlim H^1(\text{Gal}(L/K), L)$ über alle endlichen Galois-Erweiterungen von K ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man H¹(Gal(L / K),L) = 0 zeigen.

Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad p ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei L / K eine Galois-Erweiterung vom Grad p. Dann ist $\text{Gal}(L/K)\cong\Z/p\Z$, und durch Verkettung mit der Projektion $G_K\to\text{Gal}(L/K)$ erhält man einen Homomorphismus $h: G_K\to\Z/p\Z$. Mit der Einbettung $\Z/p\Z\to K^\text{sep}$ erhält man einen 1-Kozykel $c\in H^1(G_K, K^\text{sep})$, der aber schon in der Untergruppe H¹(Gal(L / K),L) liegt. Das oben konstruierte Element $\omega\in L$ hat die Eigenschaft c(σ) = σω − ω für alle $\sigma\in\text{Gal}(L/K)$, also ist c ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass $\wp(\omega)$ ein Urbild von h unter dem Verbindungshomomorphismus ist.

Ist umgekehrt $a\in K$ gegeben, kann man ein Urbild $\omega\in\wp^{-1}(a)$ wählen, und der Homomorphismus $h: G_K\to\Z/p\Z$ ist h(σ) = σω − ω. Der Kern von h und L = K(ω) entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.

Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus $K/\wp K\to\text{Hom}(G_K,\Z/p\Z)$ mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.

Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von $\text{Hom}(G_K,\Z/p\Z)$ mit Erweiterungen vom Exponenten p identifizieren: Einer Untergruppe $\Delta\subseteq\text{Hom}(G_K,\Z/p\Z)$ entspricht der Fixkörper von $\bigcap_{h\in\Delta}\ker(h)$, einer abelschen Erweiterung L / K vom Exponenten p entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten $G_K\to\text{Gal}(L/K)$ faktorisieren.

Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie

Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei K ein lokaler Körper der Charakteristik p > 0, d.h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper $\mathbb{F}_q((T))$ für eine Potenz q = p^e. Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung

$K/\wp K\times G_K\to\Z/p\Z$

durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung $({-},{*}/K): K^*\to G_K^\text{ab}$. Ist $a\in K$ und $\omega\in K^\text{sep}$ mit $\wp(\omega)=a$ und $b\in K^*$, dann gilt:

[a,b) = (b, * / K)ω − ω

Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform

$K/\wp K\times K^*/(K^*)^p\to\Z/p\Z$

Weitere Eigenschaften:

• Es gilt [a,b) = 0 genau dann, wenn b eine Norm in der Erweiterung K(ω) / K ist.
• Es gilt [a,a) = 0 für alle $a\in K^*$.

Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei dT ein Symbol, $\Omega=\mathbb{F}_q((T))\cdot dT$ der eindimensionale, von dT aufgespannte Vektorraum sowie

$d: \mathbb{F}_q((T))\to\Omega,\ \ \sum a_n T^n\mapsto\left(\sum a_n\cdot nT^{n-1}\right) dT$

und die Residuenabbildung

$\text{res}: \Omega\to\mathbb{F}_q,\ \ \left(\sum a_n T^n\right) dT \mapsto a_{-1}$

(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus $K\cong\mathbb{F}_q((T))$.) Für $a\in K$ und $b\in K^*$ ist dann:^[3]

$[a,b)=\text{Spur}_{\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p}\ \text{res}\left(a\cdot\frac{db}{b}\right)$

Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in K ^* , das für jede Galois-Erweiterung L / K vom Grad p in der Normengruppe N_{L / K}L ^* liegt, eine p-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.^[4]

Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung

$\mathbb{A}_K/\wp\mathbb{A}_K\times I_K/I_K^p\to\Z/p\Z$

(dabei $\mathbb{A}_K$ der Adelring und $I_K=\mathbb{A}_K^*$ die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.^[5]

Geometrische Sichtweise

Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus

$\wp=F-1: \mathbb{G}_a\to\mathbb{G}_a$

der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe $\mathbb{G}_a=\mathbb{A}^1$ aufgefasst werden kann (F ist der relative Frobeniusmorphismus). $\wp$ ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe $\Z/p\Z$. Die Existenz von $\wp$ zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.

Ein Körperelement $a\in K$ entspricht einem Morphismus $a: \text{Spec }K\to\mathbb{G}_a$, und die Faser von $\wp$ über a ist entweder der triviale $\Z/p\Z$-Torsor oder die durch das Polynom X^p − X − a definierte Artin-Schreier-Erweiterung von K.

Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.^[6]

Artin-Schreier-Witt-Theorie

Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von p ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt.^[7] Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik p, der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.

Sei wieder K ein Körper der Charakteristik p, K^sep ein separabler Abschluss von K und G_K = Gal(K^sep / K) die absolute Galois-Gruppe von K. Sei W_n die Gruppe der p-typischen Wittvektoren der Länge n und F der Frobeniushomomorphismus

$(x_0,\dots,x_{n-1})\mapsto(x_0^p,\dots,x_{n-1}^p)$

Mit

$\wp: W_n(K^\text{sep})\to W_n(K^\text{sep}),\ \ x\mapsto F(x)-x$

ist

$0\to\Z/p^n\Z\to W_n(K^\text{sep})\stackrel{\wp}{\longrightarrow} W_n(K^\text{sep})\to 0$

eine exakte Sequenz von G_K-Moduln, wobei $\Z/p^n\Z\cong W_n(\mathbb{F}_p)$ verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie H¹(G_K,W_n) verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der V-Filtrierung isomorph zu K^sep sind und H¹(G_K,K^sep) = 0 gilt (siehe oben). Also ist $H^1(G_K,\Z/p^n\Z)\cong W_n(K)/\wp W_n(K)$, und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von pⁿ ist, und Untergruppen von $W_n(K)/\wp W_n(K)$.^[8]

Sei $K\cong\mathbb{F}_q((T))$ ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor $a\in W_n(K)$ und einem Körperelement $b\in K^*$ definiert Witt eine zentrale einfache Algebra A_[a,b), die von u und den kommutierenden Elementen $v_0,\dots,v_{n-1}$ mit den Relationen

$u^{p^n}=b,\ \wp(v)=a,\ v^u=v+1$

erzeugt wird. Dabei wird mit $v=(v_0,\dots,v_{n-1})$ als einem Wittvektor gerechnet, und v^u steht für den Wittvektor $(u v_0 u^{-1},\dots,u v_{n-1} u^{-1})$. Sei $\omega\in W_n(K^\text{sep})$ mit $\wp(\omega)=a$ und $L=K(\omega)=K(\omega_0,\dots,\omega_{n-1})$, außerdem ( − ,L / K) die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als

$[a,b)=(b,L/K)(\omega)-\omega\in W_n(\mathbb{F}_p)\cong\tfrac{1}{p^n}\Z/\Z\subset\Q/\Z$

Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung

$W_n(K)/\wp W_n(K)\times K^*/(K^*)^{p^n}\to\Q/\Z$

Es ist [a,b) = 0 genau dann, wenn $b\in N_{L/K}(K^*)$ gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra: [a,b) = inv(A_[a,b)). Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.^[9]

Literatur

• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0, Kap. VI §1.
• Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549-631.
• J.-P. Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7.

Fußnoten

1. ↑ Die Originalarbeit ist: Emil Artin, Otto Schreier: Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. In: Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 5, Nr. 1, 1927, S. 225-231, doi:10.1007/BF02952522.
2. ↑ Roquette 2001, Kap. 7.2. Die Originalarbeit ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 173, 1935, S. 34-51.
3. ↑ Formel erstmals angegeben von Hermann Ludwig Schmid, siehe Roquette 2001, Kap. 7.1. Die Originalarbeit ist: Hermann Ludwig Schmid: Über das Reziprozitätsgesetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörpern mit endlichem Konstantenkörper. In: Mathematische Zeitschrift. 40, 1935, S. 91-109.
4. ↑ Serre 1979, XIV §6
5. ↑ André Weil: Basic Number Theory. 3 Auflage. Springer, New York 1974, ISBN 0-387-06935-6, Kap. XIII §7. Shokichi Iyanaga: The Theory of Numbers. North-Holland, Amsterdam 1975, ISBN 0-444-10678-2, Kap. V §4.
6. ↑ Reinhardt Kiehl, Rainer Weissauer: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l-adic Fourier Transform. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-41457-6.
7. ↑ Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math.. 176, 1936, S. 126-140.
8. ↑ Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1079-X, Kap. 8.11. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-33942-7, Kap. IX §1 Ex. 19-21.
9. ↑ Siehe auch: Lara Thomas: Ramification groups in Artin-Schreier-Witt extensions. In: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. 17, Nr. 2, 2005, S. 689-720 (online).