Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt.

Definition

Sei C eine Kategorie und M = (T,μ,η) eine Monade, mit $T\colon C\to C$ als Endofunktor und $\mu\colon T^2\to T$, $\eta\colon 1\to T$ als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu C und M gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als C_M bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

• $\operatorname{Ob}(C_M)=\operatorname{Ob}(C)$, sowie
• $\operatorname{Mor}_{C_M}(X,Y)=\operatorname{Mor}_C(X, T(Y))$.

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

• $\operatorname{id}_A = \eta_A$ und
• $f \circ_{C_M} g = \mu \circ_C T(f) \circ_C g$.

Beispiele

• Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, $\mathcal P$, mit $\mathcal P(f)(A) = \{f(a) | a\in A\}$.

Literatur

Saunders Mac Lane: Categories for the working mathematician. Springer.