Möbius-Inversion

Die Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

$f:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$

und ihre summatorische Funktion

$F:\mathbb{N}\to\mathbb{C},\quad F(n) = \sum_{d\mid n}f(d).$

Dann gilt für jede natürliche Zahl n

$f(n) = \sum_{d\mid n}\mu(d)F\left(\frac{n}{d}\right) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)F(d),$

wobei μ die Möbiusfunktion bezeichnet.

Literatur

G. Wüstholz: Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 9783528072919.