Picarditeration

Als Picarditeration bezeichnet man in der Mathematik die von Charles Émile Picard entdeckte Fixpunktiteration zur approximativen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die auch in dem Beweis der lokalen Version des Satzes von Picard-Lindelöf verwendet wird.

Definition

Betrachte das durch

$\dot x(t) = f(t, x(t)),~x(t_0)=x_0$

gegebene dynamische System, wobei f(t,x) eine im zweiten Argument lipschitzstetige Abbildung, t aus einem reellen Zeitintervall und x Element eines Banachraums ist.

Die Picarditeration ist dann gegeben durch

$x^{[\ell + 1]}(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(\tau, x^{[\ell]}(\tau)) d\tau, ~t\in[t_0, t_0 + \varepsilon].$

Sie konvergiert für hinreichend kleine ε gleichmäßig gegen die Lösung x(t).

Weblinks

•  Wikibooks: Beweisarchiv - Beweis der Behauptung – Lern- und Lehrmaterialien
• Beweis der Behauptung auf der Webseite der Uni Stuttgart