Radiale Basisfunktion

Radiale Basisfunktion

Eine radiale Basisfunktion (RBF) ist eine reelle Funktion, deren Wert nur vom Abstand zum Ursprung abhängt, so dass  \varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\|\mathbf{x}\|) . Der Name kommt daher, dass die Funktion nach dieser Definition radialsymmetrisch ist und ferner diese Funktionen als Basisfunktionen einer Approximation verwendet werden. Allgemeiner kann man den Abstand zu einem Punkt c betrachten, der Zentrum genannt wird, so dass  \varphi(\mathbf{x}, \mathbf{c}) = \varphi(\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|) .

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Jede Funktion  \varphi(x) für die  \varphi(\mathbf{x}) = \varphi(\|\mathbf{x}\|) gilt ist eine RBF. Als Norm  \|\cdot\| wird gewöhnlich die euklidische Norm gewählt, je nach Problem sind auch andere Normen möglich. Nimmt man beispielsweise die von der Lukaszyk-Karmowski Metrik induzierte Norm, so ist es bei manchen RBFs möglich, Probleme mit schlecht konditionierten Matrizen zu umgehen, die zur Berechnung der Koeffizienten, die bei Approximation durch RBFs auftreten, erforderlich sind.

Approximation durch RBFs

Typischerweise werden Linearkombinationen von radialen Basisfunktionen zur Approximation von Funktionen genutzt: \textstyle y(\mathbf{x}) \approx \sum_{i=1}^N \lambda_i \varphi(\|\mathbf{x} - \mathbf{c}_i\|) .

Hierbei wird die zu approximierende Funktion y(x) durch eine Summe von N radialen Basisfunktionen angenähert, die verschiedene Zentren ci haben und durch die Koeffizienten λi gewichtet sind.

Approximationsmethoden dieser Art werden zur Modellierung nichtlinearer Systeme (mit ausreichend einfachen chaotischem Verhalten) und zur 3D Rekonstruktion in der Computergrafik (beispielsweise hierarchische RBFs) eingesetzt.

Weitere Anwendungsbereiche von RBFs sind das Lösen von partiellen Differentialgleichungen (z.B. mittels gitterfreier Kollokation) oder Transformationen bei der Bildregistrierung.

Beispiele

Stückweise polynomielle RBF (Rn) | r | n, für n ungerade
Thin Plate Spline (TPSn) | r | nln | r | , für n gerade
Multiquadric RBF (MQ)  \sqrt{1+(\epsilon r)^2}
Inverse multiquadric RBF (IMQ)  \frac{1}{\sqrt{1+(\epsilon r)^2}}
Inverse quadric RBF (IQ)  \frac{1}{1+(\epsilon r)^2}
gaußsche RBF (GS)  e^{-(\epsilon r)^2}

Neuronale Netze

Insofern als Künstliche neuronale Netze eine zur Approximation geeignete Verfahrensart sind, besonders bei hochdimensionalen Problemen, stellen RBF ein spezielles Modell für solche Netze dar.

Literatur

  • Martin D. Buhmann: Radial Basis Functions: Theory and Implementations Cambridge University Press 2003
  • E. Larsson, B. Fornberg: A Numerical Study of some Radial Basis Function based Solution Methods for Elliptic PDEs, Computers & Mathematics with Applications Volume 46, 2003
  • H. Wendland: Scattered Data Approximation, Cambridge University Press, 2005

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bildregistrierung — PET/CT: links CT, Mitte PET, rechts Resultat einer Registrierung Bildregistrierung ist ein wichtiger Prozess in der digitalen Bildverarbeitung und dient dazu, zwei oder mehrere Bilder derselben Szene, oder zumindest ähnlicher Szenen, bestmöglich… …   Deutsch Wikipedia

  • Registrierung (Bildverarbeitung) — PET/CT: links CT, Mitte PET, rechts Resultat einer Registrierung Bildregistrierung ist ein wichtiger Prozess in der digitalen Bildverarbeitung und wird dazu benutzt, zwei oder mehrere Bilder derselben Szene, oder zumindest ähnlicher Szenen,… …   Deutsch Wikipedia

  • Gitterfreie Kollokation — Die gitterfreie Kollokation ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen. Sie ist eine spezielle Variante von Approximationen durch RBFs. Im Gegensatz zu anderen Verfahren (z.B. FEM) benötigt man keine… …   Deutsch Wikipedia

  • RBF — Die Abkürzung RBF steht für: Big Bear (Kalifornien), IATA Code des Flughafens in den USA radiale Basisfunktion, eine Klasse von mathematischen Funktionen renaler Blutfluss oder Nierendurchblutung als jene Blutmenge, die pro Minute durch die… …   Deutsch Wikipedia

  • RbF — Die Abkürzung RBF steht für: Big Bear (Kalifornien), IATA Code des Flughafens in den USA Radiale Basisfunktion, eine Klasse von mathematischen Funktionen renaler Blutfluss oder Nierendurchblutung als jene Blutmenge, die pro Minute durch die… …   Deutsch Wikipedia

  • Rbf — Die Abkürzung RBF steht für: Big Bear (Kalifornien), IATA Code des Flughafens in den USA Radiale Basisfunktion, eine Klasse von mathematischen Funktionen renaler Blutfluss oder Nierendurchblutung als jene Blutmenge, die pro Minute durch die… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”