Replikatorgleichungen

Replikatorgleichungen sind eine Klasse von in der theoretischen Biologie entwickelten Gleichungen zur Beschreibung der Entwicklungsdynamik reproduzierbarer Einheiten (Replikatoren). Sie zählen zu den grundlegenden Gleichungen der Evolutionstheorie.

Gleichungen

In einer relativ allgemeinen Form sind stetige Replikatorgeichungen von der Form

$\dot{x_i} = x_i [ f_i(x) - \phi(x)], \quad \phi(x) = \sum_{i=1}^{n}{x_i f_i(x)}$

mit x_i der Anteil einer Replikatorspezies vom Typ i in der Gesamtpopulation, $x=(x_1, \ldots, x_n)$ Verteilungsvektor, f_i(x) Fitness von Replikatortyp i und φ(x) durchschnittliche Fitness .

Eine häufig zur Modellvereinfachung gemachte Annahme ist, dass die Fitness linear von der Zusammensetzung der Replikatorpopulation abhängt:

$\dot{x_i}=x_i\left(\left(Ax\right)_i-x^TAx\right),$

dabei enthält die Payoff-Matrix A die Fitnessinformation für die Population: der zu erwartende Payoff kann geschrieben werden als $\left(Ax\right)_i$ und die mittlere Fitness der Gesamtpopulation als x^TAx.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Replikatorgleichungen, die Mutationen berücksichtigt, stellen Replikator-Mutator-Gleichungen dar:

$\dot{x_i} = \sum_{j=1}^{n}{x_j f_j(x) Q_{ji}} - \phi(x)x_i,$

hier gibt die Matrix Q die mutationsbedingten Übergangswahrscheinlichkeiten der Replikatortypen j nach i an.

Literatur

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