Translationsfläche

Eine Translationsfläche oder Schiebefläche ist ein mathematisches Objekt aus dem Teilgebiet der Geometrie. Es gibt mehre äquivalente Möglichkeiten, diese Fläche zu definieren. In diesem Artikel wird die Definition mittels Karten gewählt.

Definition

Eine Translationsfläche (X,Σ,ω) ist eine zusammenhängende, kompakte, orientierbare Fläche X mit Geschlecht $g \geq 1$, eine endliche, nichtleere Menge von Singularitäten Σ und ein zweidimensionaler Atlas ω auf $X^\ast := X \setminus \Sigma$, so dass die Kartenwechselabbildungen von ω Translationen sind.

Beispiele

• Nimmt man ein Quadrat in der Ebene und verklebt jeweils die gegenüberliegenden Seiten, so entsteht ein Torus. Zusammen mit der Ecke (nach dem Verkleben ist es nur noch eine) als Singularität und der ebenen Struktur des Quadrats entsteht eine Translationsfläche, der einfach punktierte Torus.
• Eine etwas kompliziertere Translationsflächen entsteht beim Verkleben von zwei regulären Fünfecken. Dreht man die Fünfecke so, dass jeweils eine ihrer Seiten horizontal ist, wobei ein Fünfeck über seiner horizontalen Seite liegt und das andere darunter, so sind je zwei Seiten parallel. Veklebt man die parallelen Seiten, entsteht eine kompakte Fläche. Auch hier werden alle Ecken miteinander identifiziert. Es entsteht eine konische Singularität mit Winkel $6 \, \pi$ (= Summe der Innenwinkel der Ecken). Im Gegensatz zum Torus ist die Singularität in diesem Fall also nicht hebbar. Die resultierende Translationsfläche hat das Geschlecht 1. Das kann man zum Beispiel mit Hilfe der Eulercharakteristik berechnen.

Anwendung

Translationsflächen können zum Beispiel dazu verwendet werden, (reibungsfreie) Billardbahnen in rationalen polygonförmigen Billardtischen zu untersuchen. An Stelle der Reflexion der (punktförmigen) Billardkugel an einer Seite des Polygons, wird das Polygon an dieser Seite gespiegelt und die Billardbahn verläuft geradlinig weiter.^[1]

Einzelnachweise

1. ↑ A. N. Zemlyakov, A. B. Katok: Topological Transitivity of Billiards in Polygons. In: Mathematical Notes. 18, 2, S. 760–764.