Fläche (Topologie)

Als topologische Fläche bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Der Begriff ist eine Verallgemeinerung des Begriffs der regulären Fläche der Differentialgeometrie.

Definition

Allgemeine Definition

In der Topologie definiert man Flächen wie folgt:

Eine Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur offenen Kreisscheibe $D^{\circ2}$ oder zur abgeschlossenen Halbebene $\lbrace (x_1,x_2) \in \mathbb R^2 \mid x_1 \geq 0 \rbrace$ homöomorphe Umgebung besitzt.

Eine alternative Definition, die auf die Fallunterscheidung verzichtet lautet:

Eine Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur geschlossenen Kreisscheibe D² homöomorphe Umgebung besitzt.

Diejenigen Punkte, die eine zur offenen Kreisscheibe homöomorphe Umgebung besitzen, bezeichnet man als innere Punkte der Fläche und die anderen als Randpunkte. Die Menge der inneren Punkte bildet das Innere $F^\circ$ der Fläche, während die Menge der Randpunkte den Rand $\partial F$ der Fläche bildet.

Wichtige Spezialfälle dieser Definition sind die regulären Flächen der Differentialgeometrie, welche die hier gegebene Definition erfüllen und zusätzlich noch eine differenzierbare Struktur besitzen.

Definition für unberandete Flächen

Hat eine Fläche keine Randpunkte, so spricht man von einer unberandeten Fläche oder Fläche ohne Rand. Andernfalls nennt man die Fläche berandet oder Fläche mit Rand.

Für unberandete Flächen verkürzt sich die obige Definition:

Eine unberandete Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur offenen Kreisscheibe $D^{\circ2}$ homöomorphe Umgebung besitzt.

Eine Fläche ohne Randpunkte heißt

• geschlossen, wenn sie den Kriterien eines kompakten Raumes entspricht.
• offen wenn sie diese Kriterien nicht erfüllt.

Beispiele

• Die bekannten Standardflächen in der Ebene, etwa Dreieck(-sfläche), Kreisscheibe, Halbebene; diese sind berandet oder unberandet im Sinne der obigen Definition je nachdem ob man die Randlinie hinzuzählt oder nicht.
• Beispiele im 3-dimensionalen Raum gewinnt man, wenn man die Oberflächen von Vollkörpern betrachtet, also etwa Polyeder, Kugel, Zylinder, Kegel, ebenso geeignete Teile hiervon, etwa nur der Mantel eines Zylinders.
• Das Möbiusband ist eine nicht orientierte Fläche.
• Die Kleinsche Flasche ist eine geschlossene Fläche, aber keine Oberfläche eines Vollkörpers und lässt sich noch nicht einmal in den dreidimensionalen Raum einbetten.

Siehe auch

• Geschlecht (Fläche)
• Riemannsche Fläche
• Abwickelbare Fläche
• Euler-Charakteristik
• Eulerscher Polyedersatz
• Fundamentalpolygon
• Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten

Literatur

• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02226-5
• William S. Massey: Algebraic Topology: An Introduction. 1. Auflage. Springer, Berlin 1967, ISBN 3-540-90271-6

Weblinks

 Commons: Fläche – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien