Sigma-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt Sigma-kompakt (σ-kompakt), wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.^[1]

Beispielsweise ist $\mathbb{R}$, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt $\mathbb{R} = \cup_{n=1}^\infty [-n, n]$, so dass sich $\mathbb{R}$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume [ − n,n] darstellen lässt.

Einzelnachweis

1. ↑ Heine, S. 336.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-15307-1.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.