Sigma-endliches Maß

Der Begriff der σ-Endlichkeit (auch σ-Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in σ-endliche und nicht σ-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge.

Definition

Ein positives Maß μ, definiert auf einer σ-Algebra Σ von Teilmengen einer Menge X, wird genau dann endlich genannt, wenn μ(X) endlich ist. Eine Menge in einem messbaren Raum hat ein σ-endliches Maß, wenn sie eine abzählbare Vereinigung von Mengen endlichen Maßes ist. Das Maß μ wird dann σ-endlich genannt, wenn X σ-endliches Maß hat.

Die Definition lässt sich auf signierte Maße ausweiten: Ein signiertes Maß ν heißt σ-endlich, wenn | ν | σ-endlich ist.

Eigenschaften

Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der σ-endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, σ-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodym und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht σ-endliche Maße.

Beispiele

Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen ist nicht endlich, aber σ-endlich. Denn betrachtet man die Intervalle [k,k + 1] für alle ganzen Zahlen k, so hat jedes Intervall das Maß 1, und $\mathbb{R}$ ist deren Vereinigung.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-15307-1.