Stationäre Wavelet-Transformation

Stationäre Wavelet-Transformation der Lena unter Verwendung des Haar-Wavelets

Die stationäre Wavelet-Transformation (SWT)^[1] ist ein Wavelet-Transformationsalgorithmus, der die fehlende Verschiebungsinvarianz der diskreten Wavelet-Transformation (DWT) beseitigen soll. Diese führt bei minimal verschobenen Signalen zu erheblich anderen Wavelet-Koeffizienten und nicht, wie man es sich wünschen würde, zu minimal verschobenen, aber ansonsten gleichen Koeffizienten.

Die stationäre Wavelet-Transformation stellt in der Signalanalyse eine Alternative zur kontinuierlichen Wavelet-Transformation dar.^[2] Beispielsweise wird sie zur Kantendetektion eingesetzt.

Verschiebungsinvarianz wird durch das Entfernen von Up- und Downsampling-Schritten der DWT und Hinzufügen von Upsampling der Filter-Koeffizienten mit einem Faktor von 2^{(j − 1)} auf der jten Skale des Algorithmus erreicht.^[3] Die SWT ist ein inhärent redundantes Schema, da die Ausgabe auf jeder Skale der SWT die gleiche Anzahl an Samples enthält wie die Eingabe. Somit entsteht bei einer Zerlegung auf N Skalen eine N-fache Redundanz der Wavelet-Koeffizienten.

Der Algorithmus ist auch bekannt als "algorithme à trous" im Französischen (trous bedeutet Löcher auf Deutsch), was sich auf die eingefügten Nullen in die Filterkoeffizienten bezieht. Er wurde von Holschneider et al. eingeführt.^[4]

Implementierung

Das folgende Blockdiagramm stellt eine digitale Implementierung der SWT dar.

Eine 3-Skalen-SWT-Filterbank

In obigem Diagramm werden für jede Skale die Filter der vorherigen Skale verwendet, bei denen die Abtastrate erhöht wurde (Upsampling) (siehe nachfolgende Abbildung).

SWT-Filter

Anwendungsgebiete

Die SWT findet Anwendung in verschiedenen Bereichen, z. B. in

• Mustererkennung
• Signalrauschunterdrückung

Synonyme

Die Idee, das Unterabtasten der diskreten Wavelet-Transformation auszulassen, ist hinreichend intuitiv, dass diese Variante verschiedene Male "erfunden" wurde, jeweils mit unterschiedlichen Namen.

• stationäre Wavelet-Transformation (stationary wavelet transform)
• redundante Wavelet-Transformation (redundant wavelet transform)
• Algorithme à trous
• quasi-kontinuierliche Wavelet-Transformation (quasi-continuous wavelet transform)
• verschiebungsinvariante Wavelet-Transformation (shift invariant wavelet transform)
• translationsinvariante Wavelet-Transformation (translation-invariant wavelet transform)
• Wavelet-Transformation mit maximaler Überlappung (maximal overlap wavelet transform, MODWT)
• Undecimated wavelet transform (UWT)
• Cycle spinning

Einzelnachweise

1. ↑ James E. Fowler: The Redundant Discrete Wavelet Transform and Additive Noise, enthält einen Überblick über die verschiedenen Namen für diese Transformation.
2. ↑ W. Bäni: Wavelets: Eine Einführung für Ingenieure. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2005
3. ↑ Mark J. Shensa, The Discrete Wavelet Transform: Wedding the A Trous and Mallat Algorithms, IEEE Transaction on Signal Processing, Vol 40, No 10, Oct. 1992.
4. ↑ M. Holschneider, R. Kronland-Martinet, J. Morlet and P. Tchamitchian. A real-time algorithm for signal analysis with the help of the wavelet transform. In Wavelets, Time-Frequency Methods and Phase Space, pp. 289–297. Springer-Verlag, 1989.