Chua's Circuit

Chua’s Circuit ist eine einfache elektronische Schaltung, die erstmals 1983 von Leon. O Chua beschrieben und 1984 veröffentlicht wurde.^[1] Die Schaltung weist chaotisches Verhalten auf und eignet sich als Demonstrationsobjekt für Effekte der Chaostheorie und nichtlineare Dynamik.

Elektronischer Aufbau

Chua’s Circuit

Die nebenstehende Schaltskizze zeigt Chua’s Circuit. Der Operationsverstärker OPA bildet zusammen mit den beiden 290-Ohm-Widerständen einen negativen Widerstand (NIC). Zusammen mit dem linken Schaltungsteil bildet sich eine oszillierende Schaltung. Nun wird jedoch, sobald die Schwingungsamplitude die Durchbruchspannung der Dioden D1, D2 überschreitet (sowohl in der positiven als auch in der negativen Halbwelle), einer der beiden Widerstände R2 parallel an den negativen Widerstand geschaltet.

Die das System beschreibende Differentialgleichung wird somit nichtlinear und die Dynamik des Systems weist die typischen Effekte chaotischer Systeme, wie Bifurkation und einen seltsamen Attraktor auf. Das Verhalten des vorliegenden Systems wird zumeist in Abhängigkeit vom Widerstand R als Chaosparameter beschrieben.

Theoretische Beschreibung

Chua’s Circuit lässt sich mathematisch sehr einfach mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln beschreiben. Dazu wählt man beispielsweise die Spannungen an den beiden Kondensatoren U_C1 und U_C2 sowie den Spulenstrom I_L als dynamische Variablen, die den Phasenraum aufspannen. Das Verhalten des nichtlinearen Widerstandes lässt sich mit einer Funktion g(U_C1) modellieren, die dessen Strom-Spannungs-Kennlinie wiedergibt. Man beachte hierbei, dass am nicht-linearen Widerstand die gleiche Spannung wie am Kondensator C₁ anliegt.

Durch Anwenden der Knotenregel auf die Knoten über den beiden Kondensatoren erhält man

$C_1\frac{d U_{C_1}}{dt}-\frac{U_{C_2}-U_{C_1}}{R}+g(U_{C_1})=0$

$C_2\frac{d U_{C_2}}{dt}-\frac{U_{C_1}-U_{C_2}}{R}-I_{L_1}=0$

Aus der Maschenregel erhält man

$L_1 \frac{dI_{L_1}}{dt}+I_{L_1}r+U_{C_2}=0$

Dieses Differentialgleichungssystem charakterisiert die gesamte Dynamik des Systems. Die Lösung dessen ist eine Trajektorie im Phasenraum, die bei gegebenen Anfangsbedingungen die zeitliche Evolution des Systems beschreibt, wobei zu jedem Zeitpunkt der Zustand des Systems durch einem Punkt im Phasenraum gegeben ist. Da die Lösungstrakjektorie eindeutig ist, ist das Verhalten von Chua’s Circuit streng deterministisch.

Einzelnachweise

1. ↑ Takashi Matsumoto: A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit. In: IEEE Transactions on Circuits and Systems. CAS-31, Nr. 12IEEE, Dezember 1984, S. 1055-1058