Cosinus amplitudinis

In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik, bei elliptischen Filtern und in der Geometrie, insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse. Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Cosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.

Die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen

Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter k, der elliptische Modul, der der Ungleichung 0 < k < 1 genügt. Er wird oft auch als m angegeben, wobei m = k², oder als modularer Winkel α, wobei sin²α = k². Daneben werden oft die sogenannten komplementären Parameter $k' = \sqrt{1-k^2}$ sowie m₁ = k'² verwendet. Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen sind dann:

• der sinus amplitudinis $\operatorname{sn}\,(z;k)$,
• der cosinus amplitudinis $\operatorname{cn}\,(z;k)$,
• das delta amplitudinis $\operatorname{dn}\,(z;k)$.

Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Insgesamt gelten für sie die folgenden Eigenschaften:

Funktion	Perioden	Nullstelle	Polstelle
$\mathrm{sn}\,(z; k)$	$4\, K,\ 2 \,\mathrm{i} K'$	$2m K + 2 \,n\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$
$\mathrm{cn}\,(z; k)$	$4\, K,\ 2 \,(K + \mathrm{i} K')$	$(2m+1) \,K + 2\,n\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$
$\mathrm{dn}\,(z; k)$	$2\, K,\ 4\,\mathrm{i} K'$	$(2\,m + 1)\, K + 2 \,(n+1)\,\mathrm{i}\, K'$	$2\,m K + (2n+1) \,\mathrm{i}\, K'$
n und m sind ganze Zahlen

Hierbei hängen die Perioden K und K' mit dem Parameter k zusammen über die elliptischen Integrale

$K=K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\,\varphi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\varphi}}, \mbox{ } K'(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\,\varphi}{\sqrt{1 + k^2 \cos^2\varphi}}.$

So hat sn beispielsweise Nullstellen bei z = 0 und z = 2K, sowie Polstellen bei $z=\mathrm{i}\,K'$ und $z = 2 K + \mathrm{i}\,K'$.

Speziell für $\textstyle k=\frac12$ ergeben der Sinus amplitudinis bzw. der Cosinus amplitudinis, bis auf eine Konstante, die von Gauß eingeführten lemniskatischen Sinus- und Cosinusfunktionen,

$\textstyle \mathrm{sl}\,(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}\, \mathrm{sn}\,(z;\frac{1}{2}), \qquad \textstyle \mathrm{cl}\,(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}\, \mathrm{cn}\,(z;\frac{1}{2}).$

Für die Grenzwerte k = 0 und k = 1 ergeben die Jacobi-Funktionen (nichtelliptischen) trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen:

Funktion	k=0	k=1
$\mathrm{sn}\,(z; k)$	sinz	tanhz
$\mathrm{cn}\,(z; k)$	cosz	$\textstyle \mathrm{sech}\, z = \frac{1}{\cosh z}$
$\mathrm{dn}\,(z; k)$	1	$\textstyle \mathrm{sech}\, z = \frac{1}{\cosh z}$

Definitionen

Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen.

Abstrakte Definition als spezielle meromorphe Funktionen

Hilfskonstruktion

Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul k mit 0 < k < 1 und die wie oben davon abhängenden reellen Zahlen K und K' , mit

$K=K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\,\varphi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\varphi}}, \mbox{ } K'(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\,\varphi}{\sqrt{1 + k^2 \cos^2\varphi}}.$

Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen K und K' in der komplexen Ebene mit den Ecken s, c, d, n gegeben, dessen Ecke s im Ursprung liege und die Seitenlängen K und K' habe. Die Seiten der Länge K seien dabei parallel zur reellen Achse, die der Länge K' parallel zur imaginären Achse. Die Ecke c sei der Punkt K, d der Punkt K + iK' und n der Punkt iK' auf der imaginären Achse. Die zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen bilden sich dann aus einer Buchstabenkombination pq, wobei p $\ne$ q jeweils einer der Buchstaben s, c, d, n sind.

Eine Jacobische elliptische Funktion $\mathrm{pq}\,(z;k)$ ist dann die eindeutige doppelt-periodische meromorphe Funktion, die die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

• Die Funktion $\mathrm{pq}\,(z;k)$ hat bei p eine einfache Nullstelle und bei q eine einfache Polstelle.
• Die Funktion $\mathrm{pq}\,(z;k)$ ist periodisch in Richtung p–q, wobei die Periode die doppelte Entfernung von p nach q ist. Ähnlich ist $\mathrm{pq}\,(z;k)$ periodisch in den beiden anderen Richtungen, jedoch mit einer Periode, die dem Vierfachen der Entfernung von p zu dem anderen Punkt entspricht.
• Wird die Funktion $\mathrm{pq}\,(z;k)$ um den Eckpunkt p entwickelt, so lautet der führende Term einfach z (mit dem Koeffizienten 1), der führende Term der Entwicklung um den Punkt q ist 1/z, und der führende Term der Entwicklung um die beiden anderen Eckpunkte ist jeweils 1.

Definition als Umkehrfunktionen elliptischer Integrale

Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als eindeutige Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Sei k ein gegebener Parameter mit 0 < k < 1, und sei

$z=\int_0^\phi \frac{d\theta} {\sqrt {1-k^2 \sin^2 \theta}}$

also z = z(φ). Dann sind die Jacobischen elliptischen Funktionen sn, cn und dn gegeben durch

$\operatorname {sn}\; (z;k) = \sin \phi,$

$\operatorname {cn}\; (z;k) = \cos \phi$

und

$\operatorname {dn}\; (z;k) = \sqrt {1-k^2\sin^2 \phi}$.

Der Winkel φ = φ(z) ist dabei die Amplitude, für $\operatorname {dn}\; z = \Delta(z)$ heißt er Delta-Amplitude. Ferner genügt der freie Parameter k der Ungleichung $0\leq k^2 \leq 1$. Für φ = π / 2 ist z die Viertelperiode K.

Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe nächsten Abschnitt.

Definition mit Hilfe der Theta-Funktionen

Eine weitere Definition der Jacobi-Funktionen verwendet die Thetafunktionen. Seien k und k' zwei reelle Konstanten mit 0 < k,k' < 1 und k² + k'² = 1. Dann lauten die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen

$\mbox{sn}(z; k) = \frac{1}{\sqrt{k}}\ {\vartheta_{1}\left(\frac{z}{2K};\tau\right) \over \vartheta_{0}\left(\frac{z}{2K};\tau\right)}$

$\mbox{cn}(z; k) = \sqrt{\frac{k'}{k}}\ {\vartheta_{2}\left(\frac{z}{2K};\tau\right) \over \vartheta_{0}\left(\frac{z}{2K};\tau\right)}$

$\mbox{dn}(z; k) = \sqrt{k'}\ {\vartheta_{3}\left(\frac{z}{2K};\tau\right) \over \vartheta_{0}\left(\frac{z}{2K};\tau\right)}$

Dabei gilt

$K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\,\varphi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\varphi}}$,

K'(k) = K(k') und τ = iK'(k) / K(k).

Die abgeleiteten Jacobi-Funktionen

Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:

$\operatorname{ns}(z;k)=1/\operatorname{sn}(z;k)$

$\operatorname{nc}(z;k)=1/\operatorname{cn}(z;k)$

$\operatorname{nd}(z;k)=1/\operatorname{dn}(z;k)$

Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:

$\operatorname{sc}(z;k)=\operatorname{sn}(z;k)/\operatorname{cn(z;k)}$

$\operatorname{sd}(z;k)=\operatorname{sn}(z;k)/\operatorname{dn(z;k)}$

$\operatorname{dc}(z;k)=\operatorname{dn}(z;k)/\operatorname{cn(z;k)}$

$\operatorname{ds}(z;k)=\operatorname{dn}(z;k)/\operatorname{sn(z;k)}$

$\operatorname{cs}(z;k)=\operatorname{cn}(z;k)/\operatorname{sn(z;k)}$

$\operatorname{cd}(z;k)=\operatorname{cn}(z;k)/\operatorname{dn(z;k)}$

Verkürzt können wir also schreiben

$\operatorname{pq}(z;k)=\frac{\operatorname{pr}(z;k)}{\operatorname{qr}(z;k)}$

wobei p, q und r jeweils einer der Buchstaben s, c, d, n sind und ss = cc = dd = nn = 1 gesetzt wird.

Additionstheoreme

Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen

$\operatorname{cn}^2 + \operatorname{sn}^2 = 1$

$\operatorname{dn}^2 + k^2 \operatorname{sn}^2 = 1$

Somit parametrisieren (cn, sn, dn) eine elliptische Kurve, die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Ferner können wir mit den Additionstheoremen ein Gruppengesetz für Punkte auf dieser Kurve definieren:

$\operatorname{cn}(x+y) = {\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) - \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}}$

$\operatorname{sn}(x+y) = {\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) + \operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}$

$\operatorname{dn}(x+y) = {\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y) - k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y) \over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}$

Quadratische Beziehungen

$-\operatorname{dn}^2(z;k) + {k'}^2$	$= -k^2\;\operatorname{cn}^2(z;k) = k^2\;\operatorname{sn}^2(z;k) - k^2$
$-{k'}^2\;\operatorname{nd}^2(z;k) + k'^2$	$= -k^2 {k'}^2\;\operatorname{sd}^2(z;k) = k^2\;\operatorname{cd}^2(z;k) - k^2$
${k'}^2\;\operatorname{sc}^2(z;k) + {k'}^2$	$= {k'}^2\;\operatorname{nc}^2(z;k) = \operatorname{dc}^2(z;k) - k^2$
$\operatorname{cs}^2(z;k) + {k'}^2$	$= \operatorname{ds}^2(z;k) = \operatorname{ns}^2(z;k) - k^2$

mit k² + k'² = 1. Weitere quadratische Beziehungen können mit $\operatorname{pq}^2 \cdot \operatorname{qp}^2 = 1$ und $\operatorname{pq}=\operatorname{pr}/\operatorname{qr}$ gebildet werden, wobei p, q und r jeweils einer der Buchstaben s, c, d, n sind und ss = cc = dd = nn = 1 gesetzt wird.

Entwicklung als Lambert-Reihe

Mit q = exp( − πK' / K) (auf engl. nome) und dem Argument v = πu / (2K(k)) können die Funktionen in eine Lambert-Reihe entwickelt werden,

$\operatorname{sn}(z;k)=\frac{2\pi}{K(k)\sqrt{m}} \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}} \sin (2n+1)v,$

$\operatorname{cn}(z;k)=\frac{2\pi}{K\sqrt{m}} \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}} \cos (2n+1)v$

und

$\operatorname{dn}(z;k)=\frac{\pi}{2K} + \frac{2\pi}{K} \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n}}{1+q^{2n}} \cos 2nv$

Die elliptischen Jacobi-Funktionen als Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen

Die Ableitungen der drei grundlegenden elliptischen Jacobi-Funktionen lauten

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{sn}\,(z; k) = \mathrm{cn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k), \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{cn}\,(z; k) = -\mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{dn}\,(z;k), \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \mathrm{dn}\,(z; k) = - k^2 \mathrm{sn}\,(z;k)\, \mathrm{cn}\,(z;k),$

Mit den obigen Additionstheoremen sind sie für ein gegebenes k mit 0 < k < 1 daher Lösungen der folgenden nichtlinearen Differentialgleichungen:

• $\mathrm{sn}\,(x;k)$ löst die Differentialgleichungen $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1+k^2) y - 2 k^2 y^3 = 0$ und $\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 y^2)$

• $\mathrm{cn}\,(x;k)$ löst die Differentialgleichungen $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + (1-2k^2) y + 2 k^2 y^3 = 0$ und $\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = (1-y^2) (1-k^2 + k^2 y^2)$

• $\mathrm{dn}\,(x;k)$ löst die Differentialgleichungen $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} - (2 - k^2) y + 2 y^3 = 0$ und $\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x}\right)^2 = y^2 (1 - k^2 - y^2)$

Verwandte Themen

• Lemniskatischer Sinus
• Elliptische Funktion
• Elliptisches Integral
• Thetafunktion

Weblinks

• Definition in Abramowitz & Stegun (engl.)
• Eric W. Weisstein: Jacobi Elliptic Functions. (Mathworld) (engl.)

Literatur

• Heinrich Durège: Theorie der elliptischen Functionen. B. G. Teubner, Leipzig 1861.
• Charles Hermite: Uebersicht der Theorie der elliptischen Funktionen. Wiegandt & Hempel, Berlin 1863.
• Carl Gustav Jakob Jacobi: C. G. J. Jacobi's gesammelte Werke. G. Reimer, Berlin 1881–1891
• Leo Koenigsberger: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Functionen, nebst einer Einleitung in die allgemeine Functionenlehre. B. G. Teubner, Leipzig 1874.
• Karl Weierstrass: Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. W. Fr. Kaestner, Göttingen 1883–1885.
• Robert Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Teil 2. B.G. Teubner, Leipzig 1922.
• Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964. ISBN 0-486-61272-4. (Chapter 16)
• Naum Iljitsch Achieser: Elements of the Theory of Elliptic Functions, Moscow 1970, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs, Volume 79, AMS, Rhode Island 1990. ISBN 0-8218-4532-2
• E. T. Whittaker and G. N. Watson: A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1940, 1996. ISBN 0521588073
• E. Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner, Stuttgart / Leipzig 1996. ISBN 3-8154-2001-6