Elementargebiet

Ein Gebiet $D\subseteq\mathbb{C}$ heißt Elementargebiet (teilweise auch Stammgebiet) genau dann, wenn jede auf D holomorphe Funktion eine Stammfunktion besitzt, das heißt, auf D gilt die Aussage des Integralsatzes von Cauchy.

Charakterisierung

Es gelten folgende Charakterisierungen für ein Elementargebiet D:

• D ist einfach zusammenhängend, das heißt, jede geschlossene Kurve in D ist nullhomotop, das heißt, auf den Anfangspunkt stetig zusammenziehbar. Anschaulich bedeutet dies, dass D keine Löcher hat.

• D ist homolog einfach zusammenhängend, das heißt, jeder Zyklus in D ist nullhomolog, das heißt, das Innere des Zyklus liegt vollständig in D.

• D ist konform äquivalent zu ganz $\mathbb{C}$ oder zur Einheitskreisscheibe $\mathbb{E}$, das heißt, es existiert eine biholomorphe Abbildung von D zu $\mathbb{C}$ oder zu $\mathbb{E}$, vergleiche: riemannscher Abbildungssatz.

Beispiel

Folgende Gebiete sind Elementargebiete:

• $\mathbb{C}$ und $\mathbb{E}$
• jedes Sterngebiet
• die geschlitzte Ebene $\mathbb{C}\setminus\{z\in\mathbb{R}:z\leq 0\}$

Folgendes Gebiet ist kein Elementargebiet:

• $\mathbb{C}\setminus\{0\}$

Literatur

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4