Sterngebiet

sternförmige Menge mit Zentrum x₀, ihr Inneres (grün) ist ein Sterngebiet

In der Mathematik versteht man unter einer sternförmigen Menge eine Teilmenge M des $\mathbb{R}^n$, zu der es einen Punkt p gibt (ein Sternzentrum bzw. einen Sternmittelpunkt), von dem aus alle Punkte der Menge „sichtbar“ sind, d. h., jede Verbindungsstrecke eines Punktes aus M mit p liegt vollständig in M.

Ist eine sternförmige Menge zusätzlich offen, so spricht man von einem Sterngebiet.

Formale Definition

$M \subset \mathbb{R}^n$ heißt sternförmig genau dann, wenn:

$\exist \; p \in M \; \forall m \in M \colon \; \left \{ p+t(m-p) \colon t \in [0,1] \right \} \subset M$ oder $M = \emptyset$

Bemerkungen

• Jede konvexe Menge ist sternförmig.
• Die Menge der möglichen Sternzentren heißt auch Zentrum der Menge. Man kann zeigen, dass es stets konvex ist. Eine Menge stimmt genau dann mit ihrem Zentrum überein, wenn sie konvex ist.
• Sternförmige Mengen sind kontrahierbar.
• Sternförmige Mengen sind bogenweise zusammenhängend.
• Ein Sterngebiet ist ein Gebiet.

Literatur

• Konrad Köngisberger: Analysis 2. 1-te Auflage, Springer 1993, ISBN 3-540-54723-1, S.345

Weblinks

• sternförmiges Gebiet in Kurvenintegrale und konservative Vektorfelder auf Mathematik Online (Uni Stuttgart)
• Eric W. Weisstein: star convex. In: MathWorld. (englisch)
• star shaped auf PlanetMath (engl.)