Komplexe Teilmengen

Der vorliegende Artikel über Komplexe Teilmengen beschreibt einige Mengenbegriffe, die häufig in Sätzen der Funktionentheorie verwendet werden, anschaulich im Kontext der komplexen Zahlenebene.

Viele der hier erklärten Begriffe werden in einem allgemeineren Sinn auch in der Topologie verwendet.

Zahlenebene und Punkte

Bei der komplexen Zahlenebene handelt es sich um eine Darstellung der komplexen Zahlen, die einzelnen Zahlen werden dabei als Punkte dieser Ebene dargestellt. Dabei werden Real- und Imaginäranteil einer Zahl zur x- und y-Koordinate ihres Bildpunktes in der Ebene. Der Abstand zweier komplexen Zahlen wird durch die euklidische Norm induziert. Die Kompaktifizierung $\overline{\mathbb C} = \mathbb C \cup \{\infty\}$ kann man sich mit Hilfe der riemannschen Zahlenkugel veranschaulichen.

Bei Sätzen der Funktionentheorie sind Formulierungen wie "Im Punkt z gilt..." üblich. Gemeint ist: "Für die komplexe Zahl z gilt...".

Kreisscheiben

Als (offene) Kreisscheibe um einen Punkt z₀ wird das Innere eines Kreises um z₀ in der Zahlenebene bezeichnet, der Kreisrand selbst wird nicht zur offenen Scheibe hinzugerechnet:
Definition: $\{ z \in \mathbb{C} : \; \mid z - z_0 \mid < \varepsilon \}$ nennt man eine offene Kreisscheibe um z₀ mit Radius ε.

Als abgeschlossene Kreisscheibe bezeichnet man eine Kreisscheibe mit ihrem kompletten Rand.

Als punktierte Kreisscheibe bezeichnet man eine Kreisscheibe ohne ihren Mittelpunkt.

Als alternative Bezeichnungen für den Begriff Kreisscheibe existieren Kreisumgebung und ε-Umgebung oder Epsilon-Umgebung. Gelegentlich wird ε durch einen anderen griechischen Kleinbuchstaben, zum Beispiel δ ersetzt.

Randpunkte und innere Punkte

Ein Punkt z₀ wird als Randpunkt einer Menge M bezeichnet, wenn in jeder Kreisscheibe um z₀ sowohl Punkte, die zur Menge M gehören, als auch Punkte, die nicht zur Menge M gehören, liegen.
Diese Definition besagt nichts darüber aus, ob z₀ selbst zur Menge M gehört.
Die Gesamtheit aller Randpunkte wird als der Rand bezeichnet.

Ein Punkt z₀ wird als innerer Punkt einer Menge M bezeichnet, wenn es eine (beliebig kleine) Kreisscheibe um z₀ gibt, die ausschließlich Punkte enthält, die zur Menge M gehören.
Diese Definition schließt ein, dass z₀ selbst zur Menge M gehören muss.
Die Gesamtheit aller inneren Punkte wird als das Innere bezeichnet.

offen und abgeschlossen

Eine Teilmenge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ wird als offen bezeichnet, wenn sie keinen einzigen ihrer Randpunkte enthält.

Eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ wird als abgeschlossen bezeichnet, wenn sie alle ihrer Randpunkte enthält.

Anmerkung: In $\mathbb{C}$ existieren genau zwei Teilmengen, die keine Randpunkte besitzen und die damit sowohl offen als auch abgeschlossen sind: $\mathbb{C}$ selbst und die leere Menge.

Sei U eine beliebige Teilmenge von $\mathbb{C}$. Eine Teilmenge V von U heißt relativ offen bezüglich U, wenn eine offene Menge O von $\mathbb{C}$ existiert, so dass gilt: $V={O}\cap{U}$.

Analog heißt V relativ abgeschlossen bezüglich U, wenn eine abgeschlossene Menge A von $\mathbb{C}$ existiert, so dass gilt: $V={A}\cap{U}$.

zusammenhängend

Eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ wird als wegzusammenhängend bezeichnet, wenn sich zwei beliebige Punkte der Menge durch einen Streckenzug, der komplett innerhalb der Menge verläuft, verbinden lassen. Eine wegzusammenhängede Teilmenge von $\mathbb{C}$ ist stets zusammenhängend, dies bedeutet, dass sie sich nicht als disjunkte Vereinigung von mindestens zwei nicht leeren offenen Mengen darstellen lässt.

Gebiete

→ Hauptartikel: Gebiet (Mathematik)

Eine Teilmenge M von $\mathbb C$ wird als Gebiet bezeichnet, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• M ist nicht leer, das heißt, M enthält mindestens einen Punkt,
• M ist offen,
• M ist zusammenhängend.

Tatsächlich lässt sich aus den ersten beiden Bedingungen bereits ableiten, dass ein Gebiet unendlich viele Punkte besitzt.

Anschaulich lassen sich Gebiete in der komplexen Zahlenebene als Flächen ohne ihren Rand/ihre Ränder darstellen.

Als abgeschlossenes Gebiet wird die Vereinigungsmenge eines Gebietes und dessen Rands/Rändern bezeichnet.

einfach und mehrfach zusammenhängend

Eine zusammenhängende Teilmenge M von $\mathbb{C}$ wird als einfach zusammenhängend bezeichnet, wenn sich zwei beliebige Streckenzüge zwischen zwei beliebigen Punkten von M immer innerhalb von M stetig ineinander überführen lassen, das heißt, der eine Streckenzug lässt sich zum anderen Streckenzug so "verformen", dass die Verformung komplett in M liegt. $M \subset \mathbb C$ ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn der Rand von M in $\overline{\mathbb C}= \mathbb C \cup \{\infty\}$ zusammenhängend ist. Siehe auch Homotopie.

Als mehrfach zusammenhängend wird M bezeichnet, wenn die "Verformung" nicht innerhalb von M durchgeführt werden kann, im unteren Bild steht der Verformung ein Loch in der Menge als Hindernis entgegen.

Anschaulich lassen sich (n + 1)-zusammenhängende Gebiete in der komplexen Zahlenebene als randlose Flächen mit n Löchern darstellen. Siehe auch Zusammenhängender Raum.

beschränkt und kompakt

Eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ wird als beschränkt bezeichnet, wenn alle ihre Punkte in einer Kreisscheibe um den Nullpunkt liegen.

Eine Teilmenge von $\mathbb{C}$ wird als kompakt bezeichnet, wenn sie sowohl beschränkt als auch abgeschlossen ist.

spezielle Teilmengen

Folgende Teilmengen der komplexen Zahlen spielen in verschiedenen Bereichen der Funktionentheorie eine wichtige Rolle.

• die gelochte Ebene $\mathbb C^\times = \mathbb C \backslash\{0\}$
• die geschlitzte Ebene $\mathbb C^- = \mathbb C \backslash \mathbb R _{\leq 0}$
• obere Halbebene
• Kurven
• Wege
• Einheitskreis und Einheitskreisscheibe

sonstige Begriffe

Bereich

Der Begriff Bereich wird häufig in der mathematischen Literatur zur Funktionentheorie benutzt, jedoch nicht einheitlich:

• teilweise wird Bereich als Synonym für offene Mengen (siehe oben) benutzt,
• teilweise wird Bereich als Synonym für abgeschlossene Gebiete (siehe oben) benutzt.