Airysche Differentialgleichung

Die Airy-Funktion Ai(x) bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x), die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung.

$\ y'' - xy = 0\ ,$

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Definition

Für reelle Werte x ist die Airy-Funktion als Integral definiert:

$\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, {\rm d}t\ .$

Die zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art Bi(x):

$\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \exp\left(-\frac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\,dt$

Eigenschaften

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für x=0 die folgenden Werte:

$\begin{align} \mathrm{Ai}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[3]{9}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Ai}'(0) &{}= -\frac{1}{\sqrt[3]{3}\Gamma(\frac13)}, \\ \mathrm{Bi}(0) &{}= \frac{1}{\sqrt[6]{3}\Gamma(\frac23)}, & \quad \mathrm{Bi}'(0) &{}= \frac{\sqrt[6]{3}}{\Gamma(\frac13)}. \end{align}$

Hierbei bezeichnet Γ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von Ai(x) und Bi(x) gleich 1/π ist.

Asymptotisches Verhalten

Für x gegen +∞ verhalten sich Ai(x) und Bi(x) wie folgt:

$\begin{align} \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. \end{align}$

Für x gegen -∞ gelten die Beziehungen:

$\begin{align} \mathrm{Ai}(x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\ \mathrm{Bi}(x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. \end{align}$

Komplexe Argumente

Ai(x) und Bi(x) sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

Historisches

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung Ai(x) wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Airy Functions auf MathWorld (englisch)
• Bessel, Airy, Struve Functions auf der Wolfram Funktionen Seite
• Chapter AI: Airy and related functions in Digital Library of Mathematical Functions.

Literatur

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (siehe §10.4). National Bureau of Standards, 1954.
• George Biddell Airy: On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 6, 1838, S. 379—402.
• Olver: Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York 1974.