Evolution (Mathematik)

In der Mathematik definiert man die Evolution Φ einer Differentialgleichung als eine zweiparametrige Abbildung gegeben durch:

$\Phi^{t,t_0} x_0 := x(t)$

wobei x(t) die Lösung des Anfangswertproblems x'(t) = f(t,x(t)), x(t₀) = x₀ ist und | t − t₀ | hinreichend klein sein soll.

In Worten: Die Evolution Φ bildet den Wert einer beliebigen Lösungskurve x(t) zum Zeitpunkt t₀ auf den Wert der Lösungskurve zum Zeitpunkt t ab. Sie beschreibt also die weitere Entwicklung der Lösung ausgehend vom Startpunkt x₀.

Die Evolution Φ der Differentialgleichung hat folgende Eigenschaften:

• $\Phi^{t_0,t_0}x_0 = x_0$
• $\frac{d}{d\tau}\Phi^{t+\tau,t}x |_{\tau=0} = f(t,x(t))$
• $\Phi^{t_2,t_1}\Phi^{t_1,t}x_0 = \Phi^{t_2,t}x_0$ für $t\leq t_1\leq t_2$

Im Fall autonomer Differentialgleichungen x'=f(x) ist die Startzeit t₀ beliebig. Man schreibt dann statt $\Phi^{t,t_0}$ einfach Φ^t und bezeichnet Φ^t als Phasenfluss.