Ewald-Kugel

Ewald-Konstruktion zur Ermittlung interferenzfähiger Netzebenen

Mit Hilfe der Ewald-Kugel (benannt nach Paul Peter Ewald) lässt sich die Laue-Bedingung für konstruktive Interferenz bei der Streuung an einem Kristall anschaulich darstellen.

Die Kugel wird wie folgt konstruiert (vgl. die Abbildung): Man zeichnet die Punkte des reziproken Gitters des Kristalls auf (in der Abbildung ist ein zweidimensionaler Schnitt gezeigt). In dieses Netz wird nun der Wellenzahlvektor $\vec k$ der einfallenden Welle so eingezeichnet, dass er am Gitterpunkt (00) endet. Der Anfangspunkt von $\vec k$ sei A. Dieser fällt i.A. nicht mit einem Gitterpunkt zusammen. Um A wird nun eine Kugel (in der Abbildung ein Kreis!) mit dem Radius $\left|\vec k\right|$ eingezeichnet. Bei der elastischen Streuung gilt $\left|\vec k\right| = \left|\vec k'\right|$ (d.h. dass sich bei der Streuung nur die Richtung des einfallenden Strahls ändert, nicht jedoch der Betrag des Wellenvektors). Das bedeutet nun, dass alle Wellenvektoren der gebeugten Wellen von A ausgehend ebenfalls auf der Kugeloberfläche enden. Notwendige Voraussetzung für das Auftreten eines Beugungsmaximums ist aber nun, dass die Laue-Bedingung $\Delta \vec k = \vec k' - \vec k = \vec G$ erfüllt ist. Dies ist genau für die abgebeugten Wellenvektoren $\vec k'$ der Fall, die von A ausgehend auf Punkte des reziproken Gitters zeigen (also die Gitterpunkte die von der Oberfläche der Ewald-Kugel geschnitten werden). In der Abbildung ist dies für zwei Wellenvektoren ($\vec k'_1$ mit zugehörigem reziproken Gittervektor $\vec G_1$ sowie $\vec k'_2$ mit zugehörigem reziproken Gittervektor $\vec G_2$) illustriert.

An dieser Konstruktion wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen λ (d.h. kleine Wellenzahl k) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren $\vec k'$ mehr, die die Laue-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.

Siehe auch: Röntgenbeugung, Elektronenbeugung.