Falsum

Kontradiktorisch (widersprüchlich) wird eine Beziehung zweier logischer Aussagen genannt, bei der von der Wahrheit der einen Aussage auf die Falschheit der anderen geschlossen werden kann und – das ist wichtig – von der Falschheit der einen Aussage auf die Wahrheit der anderen. Beispielsweise kann man einerseits schließen, dass, wenn die Aussage „Die Welt ist nicht rund“ wahr ist, die Aussage „Die Welt ist rund“ falsch sein muss; andererseits dass, wenn die Aussage „Die Welt ist nicht rund“ falsch ist, die Aussage „Die Welt ist rund“ wahr sein muss. Während diese beiden Aussagen auf Grund ihrer Form kontradiktorisch sind (die eine ist die Verneinung der anderen), sind viele Paare von Aussagen aus inhaltlichen Gründen kontradiktorisch. Inhaltlich widersprüchlich sind zum Beispiel die Aussagen „Die Erde ist rund“ und „Die Erde ist eckig“, weil die Eigenschaften, rund bzw. eckig zu sein, einander ausschließen. Ob zwei Aussagen zueinander kontradiktorisch sind, hängt hauptsächlich von der inhaltlichen Bedeutung (Intension) der beteiligten Prädikatoren ab, hier von den Prädikatoren „eckig“ und „rund“.

Eine Kontradiktion, auch Widerspruch oder Falsum (lateinisch falsum – das Falsche) genannt, ist eine Aussage, die behauptet, dass zwei kontradiktorische Aussagen zugleich zutreffen, ist also mit anderen Worten die Konjunktion zweier widersprüchlicher Aussagen, zum Beispiel die Aussage „Die Erde ist rund, und die Erde ist nicht rund“ oder der Ausdruck $P \and \neg P$. In der klassischen Logik ist ein Widerspruch immer falsch. Im weiteren Sinn werden daher oft alle Aussagen, die aus rein formallogischen Gründen immer falsch sind, Kontradiktion genannt, auch wenn sie nicht die Gestalt einer Konjunktion haben.

Von der kontradiktorischen Beziehung zu unterscheiden ist die konträre Beziehung, die genau dann zwischen zwei Aussagen besteht, wenn beide zwar nicht zugleich wahr, aber zugleich falsch sein können. Konträr sind beispielsweise die Aussagen „Hugo ist übergewichtig“ und „Hugo ist untergewichtig“: Es ist nicht möglich, dass beides zugleich zutrifft, sehr wohl aber können beide Aussagen falsch sein – im Beispiel etwa dann, wenn Hugo normalgewichtig ist. Die kontradiktorische Beziehung ist in dem Sinn stärker als die konträre Beziehung, als man bei jener zwar von der Wahrheit einer der beiden Aussagen auf die Falschheit der anderen Aussage schließen kann, der Schluss von der Falschheit einer der beiden Aussagen auf die Wahrheit der anderen aber nicht möglich ist: So darf man zwar von der Wahrheit der Aussage „Hugo ist übergewichtig“ auf die Falschheit der konträren Aussage „Hugo ist untergewichtig“ schließen, aber daraus, dass die Aussage „Hugo ist übergewichtig“ falsch ist, folgt nicht zwingend, dass die Aussage „Hugo ist untergewichtig“ wahr ist.

Thematisch verwandt mit der Kontradiktion ist die Redefigur des Oxymoron. Einen konträren Gegensatz zur Kontradiktion bildet die Tautologie, einen zum Oxymoron konträren Gegensatz bildet die Redefigur des Pleonasmus.

Beispiele

• Eine aussagenlogische Konjunktion der Form „A und nicht A“ (zum Beispiel „Die Erde ist eine Scheibe, und es ist nicht der Fall, dass die Erde eine Scheibe ist“) ist eine Kontradiktion, da sie immer den Wahrheitswert „falsch“ besitzt, und zwar unabhängig davon, ob der Wahrheitswert von „A“ wahr oder falsch ist.

• Im Logischen Quadrat stehen sich zum einen die quantorenlogischen Aussagen „Alle S sind P“ und „Einige S sind nicht P,“ zum anderen die Aussagen „Kein S ist P“ und „Einige S sind P“ kontradiktorisch gegenüber. Die Aussagen „Alle x sind P“ und „Kein x ist P“ sind zueinander konträr (beide können nicht zugleich wahr, aber zugleich falsch sein).

• Die Aussage „Ich lüge immer“ wird bisweilen für implizit kontradiktorisch gehalten. Denn wäre die Aussage wahr, dann müsste sie zugleich falsch sein (da der Sprecher dann stets lügt); wäre sie aber falsch, würde der Sprecher lügen und daher doch die Wahrheit sagen. Doch auch wenn der Sprecher mit der Aussage lügt, folgt nicht, dass er immer lügt. Sagt er hingegen gelegentlich die Wahrheit, so lügt er, wenn er behauptet, immer zu lügen - woraus aber nichts Widersprüchliches folgt. (Siehe auch Paradoxon des Epimenides.)

• Tatsächlich gibt es aber eine ähnliche und wirklich problematische Aussage, nämlich die Aussage „Diese Aussage ist falsch“ (in der Folge als „A“ abgekürzt). Angenommen, A wäre wahr; dann träfe zu, was A besagt, nämlich dass A falsch ist. Und angenommen, A wäre falsch; dann träfe nicht zu, was A besagt, also träfe dann nicht zu, dass A falsch ist. Hier führen wirklich beide Annahmen (dass A wahr ist bzw. dass A falsch ist) zu einem Widerspruch. Diese Aussage gehört deshalb zu den sogenannten semantischen Paradoxien, die nach Alfred Tarski deshalb zustande kommen, weil natürliche Sprachen − im Gegensatz zu formalen Objektsprachen − ihr eigenes Wahrheitsprädikat enthalten. (Siehe auch Lügner-Paradox.)

• Um auszusagen, dass eine Aussage kontradiktorisch ist, verwendet Wittgenstein im Tractatus Logico-Philosophicus die Formulierung, dass die Wahrheitsbedingungen des Satzes kontradiktorisch seien: „Ist der Satz für sämtliche Wahrheitsmöglichkeiten falsch, sind die Wahrheitsbedingungen kontradiktorisch.“ (Ludwig Wittgenstein. Tractatus Logico-Philosophicus. 4.46)

Gegenteil

Tautologie

Siehe auch

Logische Aussage, Prinzip von der Non-Kontradiktion

Weblinks

• Laurence R. Horn: „Contradiction“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)