Fatou-Bieberbach-Gebiet

Ein Fatou-Bieberbach-Gebiet ist ein echtes Teilgebiet von $\C^n$, welches biholomorph äquivalent ist zu $\C^n$, d.h. ein offenes $\Omega \subset \C^n \; (\Omega \neq \C^n)$ heißt Fatou-Bieberbach-Gebiet, falls es eine bijektive holomorphe Funktion $f:\Omega \rightarrow \C^n$ und eine holomorphe Umkehrfunktion $f^{-1}:\C^n \rightarrow \Omega$ gibt.

Geschichte

Als Konsequenz des Riemannschen Abbildungssatzes gibt es im Falle n = 1 keine Fatou-Bieberbach-Gebiete. In höheren Dimensionen wurden Fatou-Bieberbach-Gebiete erstmals in den 1920er-Jahren von Pierre Fatou und Ludwig Bieberbach entdeckt und später nach ihren Entdeckern benannt. Seit den 1980er-Jahren sind Fatou-Bieberbach-Gebiete wieder Gegenstand der mathematischen Forschung.

Quellen

• Pierre Fatou: Sur les fonctions méromorphes de deux variables. Sur certaines fonctions uniformes de deux variables. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 175, Paris 1922 im Online-Archiv
• Ludwig Bieberbach: Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des $\mathcal{R}_4$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln. Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte, 1933
• J.-P. Rosay, W. Rudin: Holomorphic maps from $\C^n$ to $\C^n$. Trans. A.M.S. 310, 1988