Fehlerintegral

Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion Φ genannt. Es ist das Integral von $-\infty$ bis z über die Normalverteilung (hier mit μ = 0 und σ = 1). Da die gesamte Fläche unterhalb der Normalverteilung (auch Gauß-Glocke genannt) 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für $z\rightarrow\infty$ ebenfalls 1 (siehe Abschnitt Normierung). Das Fehlerintegral ist durch

$\Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt$

definiert.

Lässt man das Integral erst bei 0 statt bei $-\infty$ beginnen, so spricht man von Φ₀:

$\Phi_0(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt = \Phi(z)-\tfrac 12.$

Zusammenhang zur gaußschen Fehlerfunktion

Durch Substitution der o.g. Formeln $(x=\tfrac t{\sqrt 2})$ und durch passende Umformungen lässt sich aus Φ bzw. Φ₀ die Fehlerfunktion

$\operatorname{erfc}(z) = 2 \left(1-\Phi(\sqrt 2z)\right)$

bzw.

$\operatorname{erf}(z) = 2 \Phi_0(\sqrt 2z)$

herleiten.

Anwendung

Das Fehlerintegral gibt an, zu welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert $\le z$ in einem gaußverteilten stochastischen Prozess (mit μ = 0, σ = 1) enthalten ist. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert $\ge z$ ermittelt werden, indem man $\Phi(\infty)-\Phi(z)=1-\Phi(z)$ bildet.

Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung σ = 1,25V angenommen das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich -5V...+5V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5V:

$p_1 = \Phi(-5\mathrm V/\sigma) = \Phi(-4) = 0{,}317 \cdot 10^{-4}.$

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5V:

$p_2 = \Phi(\infty) - \Phi(5\mathrm V/\sigma) = 1-\Phi(4) = 0{,}317 \cdot 10^{-4}.$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus p = p₁ + p₂

Normierung

Um die Normiertheit nachzuweisen, berechnen wir zunächst:

$I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.$

Dieses Integral ist nach wie vor nicht elementar zu integrieren. Der entscheidende Trick für die Berechnung (angeblich von Poisson) ist, nun auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:

$\begin{align} I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy. \end{align}$

Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.

Statt längs kartesischer Koordinaten wird über $\R^2$ nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution r² = x² + y² entspricht und man erhält schließlich

$\begin{align} I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\ &= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\ &= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\ &= 2 \pi. \end{align}$

Damit erhalten wir:

$\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.$

siehe auch: Tabelle Standardnormalverteilung

Weblinks

• Denis Bell: Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?