- Fehlerintegral
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Das gaußsche Fehlerintegral (nach Carl Friedrich Gauß) wird auch Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion Φ genannt. Es ist das Integral von bis z über die Normalverteilung (hier mit μ = 0 und σ = 1). Da die gesamte Fläche unterhalb der Normalverteilung (auch Gauß-Glocke genannt) 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für ebenfalls 1 (siehe Abschnitt Normierung). Das Fehlerintegral ist durch
definiert.
Lässt man das Integral erst bei 0 statt bei beginnen, so spricht man von Φ0:
Inhaltsverzeichnis
Zusammenhang zur gaußschen Fehlerfunktion
Durch Substitution der o.g. Formeln und durch passende Umformungen lässt sich aus Φ bzw. Φ0 die Fehlerfunktion
bzw.
herleiten.
Anwendung
Das Fehlerintegral gibt an, zu welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert in einem gaußverteilten stochastischen Prozess (mit μ = 0, σ = 1) enthalten ist. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert ermittelt werden, indem man bildet.
Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung σ = 1,25V angenommen das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich -5V...+5V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:
Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5V:
Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5V:
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus p = p1 + p2
Normierung
Um die Normiertheit nachzuweisen, berechnen wir zunächst:
Dieses Integral ist nach wie vor nicht elementar zu integrieren. Der entscheidende Trick für die Berechnung (angeblich von Poisson) ist, nun auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:
Grundlage für die erste Umformung ist die Linearität des Integrals.
Statt längs kartesischer Koordinaten wird über nun längs Polarkoordinaten integriert, was der Substitution r2 = x2 + y2 entspricht und man erhält schließlich
Damit erhalten wir:
siehe auch: Tabelle Standardnormalverteilung
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