Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac), mit Index j  definiert als

$F_j(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,dt$

wobei Γ(x) die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

$F_j(x, b) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_b^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,dt$

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F_1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral F_{1 / 2}(x) berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen $t:=\tfrac{E-E_{c}}{kT}$ sowie $x:=\tfrac{\mu-E_{c}}{kT}$, sodass $\mathrm{d}E=kT\,\mathrm{d}t$:

$n=N\int_{E_{c}}^{\infty}\frac{\sqrt{E-E_{c}}}{\exp\left(\frac{E-\mu}{kT}\right)+1}\,\mathrm{d}E=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{t}}{\exp\left(t-x\right)+1}\,\mathrm{d}t=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}F_{1/2}(x)$

Näherung für F_1/2

Das Integral F_{1 / 2}(x) lässt sich für verschiedene Wertebereiche von x näherungsweise lösen:

$\tilde{F}_{1/2}(x)=\begin{cases} \frac{1}{e^{-x}+0.27} & \text{wenn }\ -\infty<x<1.3\\ \frac{4}{3\sqrt{\pi}}\left(x^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}\right)^{3/4} & \text{wenn }\ \,1.3\leq x<\infty\end{cases}$

Der relative Fehler dieser Näherungslösung $\left(\tilde{F}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)$ beträgt maximal 3% (maximale Abweichung bei x = 0 und bei x = 1.3). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich F_{1 / 2}(x) durch zwei Funktionen annähern:

$F_{1/2}(x)\approx e^{x}$   für   $x\ll 0$

$F_{1/2}(x)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2}$   für   $x\gg 0$

Weblinks

• GNU Scientific Library - Reference Manual

Literatur

• J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067-1076, 1982.