Fernpunkt (Geometrie)

Die projektive Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie ist aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene hervorgegangen. Im Gegensatz zur „gewöhnlichen“, euklidischen Geometrie, gibt es in der projektiven Geometrie keine Parallelen.

Auch die mathematischen Strukturen, die in der projektiven Geometrie untersucht werden, heißen projektive Geometrien, siehe auch: Axiomatischer Zugang weiter unten.

Projektive Geometrie als Erweiterung der affinen Geometrie

Der älteste Zugang zur projektiven Geometrie geht aus vom Raum unserer Erfahrung, also von der euklidischen Geometrie in drei Dimensionen – oder, weil Längen und Winkel für die folgenden Betrachtungen keine Rolle spielen, allgemeiner von einer affinen Geometrie. Dort gibt es Parallelen, also Geraden, die in einer Ebene liegen, sich jedoch nicht schneiden, und parallele Ebenen. Die Existenz solcher Parallelen ist zur gedanklichen Erfassung des euklidischen Raumes notwendig – schon Euklid forderte sie deshalb eigens in einem Parallelenpostulat, sie entspricht jedoch nicht der unmittelbaren Wahrnehmung: Folgt man parallelen Linien mit dem Blick, so scheinen sie aufeinander zu zu laufen und sich in „unendlicher Ferne“ zu treffen.

Die projektive Geometrie trägt dem Rechnung, indem sie die Gegenstände der affinen Geometrie durch Fernelemente ergänzt: Zu jeder Klasse paralleler Geraden wird ein so genannter Fernpunkt (auch unendlich ferner Punkt oder uneigentlicher Punkt) definiert, der die Richtung dieser Geraden angibt. Alle Fernpunkte einer Ebene bilden eine Ferngerade (unendlich ferne Gerade oder uneigentliche Gerade). (Im Dreidimensionalen steht eine solche Ferngerade für eine Klasse paralleler Ebenen. Alle Ferngeraden zusammen bilden die Fernebene).
Die geläufige Redeweise, dass Parallelen sich im Unendlichen schneiden, erhält damit - neben ihrer praktischen Erklärung beim perspektivischen Zeichnen - auch einen präzisen mathematischen Sinn.

Aufgrund dieser Erweiterung gilt das Parallelenpostulat nicht mehr, vielmehr schneiden sich zwei Geraden nun stets in einem Punkt. Für zwei nicht parallele Geraden ist dies ihr aus der euklidischen Geometrie bekannter Schnittpunkt, für zwei parallele Geraden ihr Fernpunkt, und eine gewöhnliche Gerade und eine Ferngerade schneiden sich im Fernpunkt der Geraden.

Für einen streng mathematischen Aufbau werden die Fernpunkte mit den Klassen paralleler Geraden identifiziert. Etwas anschaulicher kann man auch sagen: Ein Fernpunkt „ist“ die Richtung einer Klasse paralleler Geraden. Entsprechend „ist“ eine Ferngerade die Richtung einer Ebene im Raum.

Die Bezeichnung „projektive“ Geometrie leitet sich davon ab, dass Zentralprojektionen ein wichtiges Hilfsmittel und Studienobjekt der projektiven Geometrie sind. Eine Zentralprojektion von einem Punkt P auf eine Ebene E (die P nicht enthält), kann nun auf jeden Punkt (außer P) angewendet werden. In der euklidischen Geometrie gibt es kein Bild für Punkte, die auf der zu E parallelen Ebene durch P liegen.

Ein wichtiger Begriff in diesem Zusammenhang ist das Doppelverhältnis von vier Punkten, die auf einer Geraden liegen. Es ändert sich bei projektiven Abbildungen nicht.

Axiomatischer Zugang

(Siehe hierzu: Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie)

Als man in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Geometrie in streng axiomatische Form fasste und dann auch daran ging, die Axiome systematisch zu variieren, lag es nahe, das Parallelenaxiom durch die Festlegung zu ersetzen, dass sich zwei in einer Ebene liegende Geraden immer schneiden müssen. Dies ist allerdings unverträglich mit dem Anordnungsaxiom II.3.

Beschränkt man sich aber auf die Inzidenzaxiome, so ergeben sich sehr einfache und hochsymmetrische Axiomensysteme, die auch die Gesetze des bekannten projektiven Raums umfassen.

Ein solches Axiomsystem, das nur mit den Grundbegriffen „Punkt“, „Gerade“ und „ Inzidenz“ auskommt, lautet:

1. (Geradenaxiom) Sind P und Q zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade, die mit P und Q inzidiert.
2. (Veblen-Young-Axiom) Sind A, B, C, D vier Punkte, so dass AB und CD mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch AC und BD mit einem gemeinsamen Punkt.
3. (1. Reichhaltigkeitaxiom) Jede Gerade inzidiert mit mindestens drei Punkten.
4. (2. Reichhaltigkeitaxiom) Es gibt mindestens zwei verschiedene Geraden.

Eine Struktur, die diese Axiome erfüllt, heißt dann eine projektive Geometrie.

Das 1. Axiom ist eine Kurzfassung der Inzidenzaxiome I.1 und I.2.

Das 2. Axiom ersetzt das Parallelenaxiom. Wenn man im Rahmen der übrigen Axiome den Begriff „Ebene“ geeignet definiert, besagt es gerade, dass zwei Geraden einer Ebene sich immer schneiden. Ersetzt man es durch das einfachere (und strengere) Axiom

2E. Sind g und h zwei verschiedene Geraden, so gibt es genau einen Punkt, der mit g und h inzidiert,

so heißt die entsprechende Struktur eine projektive Ebene.

Die Reichhaltigkeitsaxiome 3. und 4. ersetzen das Hilbert-Axiom I.8. Strukturen, die nur die Axiome 1. bis 3., aber nicht 4. erfüllen, heißen ausgeartete projektive Geometrien. (Es sind ausnahmslos projektive Ebenen.)

Fano-Ebene

Da sowohl das Anordungsaxiom III.4 als auch das Vollständigkeitsaxiom V.2 fehlen, sind endliche Modelle für projektive Geometrien möglich.

Das einfachste nicht-entartete Beispiel ist die Fano-Ebene, die aus sieben Punkten und sieben Geraden besteht; im nebenstehenden Bild sind die „Punkte“ die dick markierten Punkte, die „Geraden“ sind die Strecken sowie der Kreis.

Durch die Inzidenzbeziehungen der Grundelemente Punkt, Gerade und Ebene des projektiven Raumes entstehen die Grundgebilde. Ihre durch die Operationen Projizieren und Schneiden entstehenden Beziehungen werden in der koordinatenfreien synthetischen projektiven Geometrie (Geometrie der Lage) untersucht.

Homogene Koordinaten

Hauptartikel: Homogene Koordinaten

Um auch die Fernelemente einer projektiven Ebene in einem Koordinatensystem darzustellen, machen wir folgende Überlegung: Jeder Punkt in der euklidischen Ebene lässt sich durch ein Paar von Koordinaten (x,y) im kartesischen Koordinatensystem darstellen. Verschieben wir jetzt einen Punkt entlang einer Ursprungsgeraden immer weiter vom Ursprung weg, so bleibt das Verhältnis x : y stets konstant. Um diese Verschiebung ins Unendliche formal zu beschreiben, führen wir eine zusätzliche Koordinate z ein, gehen also in den 3-dimensionalen Raum über, und definieren eine Abbildung:

$(x, y, z) \mapsto (x/z, y/z)$.

Je kleiner |z| bei festem x und y ist, desto weiter ist der beschriebene Punkt vom Nullpunkt entfernt. Für z = 0 ist die Abbildung nicht definiert, es existiert also kein im Endlichen liegender Bildpunkt in der Euklidischen Ebene. Der Punkt (x, y, 0) repräsentiert in unserer Darstellung genau denjenigen Fernpunkt, der in Richtung der durch (x, y) definierten Ursprungsgeraden im Unendlichen liegt. Beachte nun, dass (x, y, z) und (tx, ty, tz) (t eine von Null verschiedene reelle Zahl) durch denselben Punkt der euklidischen Ebene repräsentiert werden. Das Zahlentripel (x, y, z) nennt man homogene Koordinaten eines Punktes der projektiven Ebene.

Die Einführung der homogenen Koordinaten kann man sich auch anschaulich vorstellen.

Schneidet man ein Geradenbündel mit einer projektiven Ebene, die nicht durch den Trägerpunkt des Bündels geht, so kann man jedem Punkt der Ebene die durch ihn gehende Gerade des Bündels zuordnen und umgekehrt.

Wählt man den Ursprung eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems als Träger des Bündels und in der Ebene E mit der Gleichung z = 1 ein zur x-Achse und y-Achse paralleles Koordinatensystem (x'/y') , so kann man die Punkte der Ebene E durch die Richtungsvektoren der Ursprungsgeraden darstellen: $\vec p = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$. Da alle Vektoren $t \cdot \vec p$ mit $t \neq 0$ dieselbe Geradenrichtung darstellen, definieren sie auch denselben Punkt der Ebene E. Alle Bündelgeraden, die parallel zu der Ebene E verlaufen, haben Richtungsvektoren mit z = 0, sie definieren die Fernpunkte der Ebene E. Für alle anderen Punkte ist $z \ne 0$, sie liegen im Endlichen, man erhält ihre gewöhnlichen Koordinaten im (x'/y') System durch $x' = \frac{x}{z} ,\; y' = \frac{y}{z}$. Denn die Normierung der Richtungsvektoren $\vec p = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \$ zu $\ \; \vec{p'} = \frac{1}{z} \cdot \vec p = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1\end{pmatrix}$ ergibt genau den Ortsvektor des zugehörigen Punktes in der Ebene E.

Geradengleichung in homogenen Koordinaten

Ist $\vec n = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}$ der Normalenvektor einer durch den Ursprung gehenden Ebene und $\vec x$ der Ortsvektor eines in dieser Ebene liegenden Punktes X, so lautet die Ebenengleichung:

$\vec n \cdot \vec x = 0$ oder $a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = 0$

Eine solche Ebene schneidet die Ebene E in einer Geraden. Daher ist dies auch eine Geradengleichung in homogenen Koordinaten. Jedes von (0, 0, 0) verschiedene Zahlentripel stellt also sowohl einen Punkt als auch eine Gerade der Ebene E dar.

Ist $\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c\end{pmatrix}$, so sind die beiden Ebenen parallel und die Gleichung $c \cdot z = 0$ ist die Gleichung der Ferngerade der Ebene E.

Hält man in der Gleichung $\vec n \cdot \vec x = 0$ den Normalenvektor $\vec n$ fest und variiert $\vec x$, so erhält man die Gleichung einer Punktreihe. Hält man $\vec x$ fest und variiert man den Normalenvektor $\vec n$, so erhält man die Gleichungen aller Geraden, die durch den festen Punkt X gehen, also ein Geradenbüschel.

Projektive Räume höherer (sogar unendlicher) Dimensionen lassen sich analog konstruieren. Sie erfüllen alle die oben genannten Axiome 1. bis 4.

Eigenschaften

Im Folgenden verstehen wir unter einem projektiven Raum eine Struktur aus Punkten und Geraden mit einer Inzidenzrelation, welche die oben genannten Axiome von Veblen-Young erfüllt und in der es zwei punktfremde Geraden gibt; die projektiven Ebenen sind also ausgeschlossen. Dann gelten folgende Tatsachen:

In jedem projektiven Raum der Dimension $\geq 3$ gilt der Satz von Desargues: Sind O, A, B, C, A', B', C' verschiedene Punkte, so dass O,A,A', O,B,B' und O,C,C' drei verschiedene Geraden bestimmen, so liegen die drei Schnittpunkte von AB mit A'B', BC mit B'C' und CA mit C'A' auf einer Geraden. Mit Hilfe dieses Satzes lässt sich zeigen: Jeder projektive Raum lässt sich durch homogene Koordinaten in einem Vektorraum V über einem Körper K beschreiben. Der Körper braucht nicht kommutativ zu sein, man sagt statt Körper daher auch oft Schiefkörper. (Z. B. bilden die reellen Zahlen einen Schiefkörper, der nicht „schief“ ist). Der Vektorraum V ist mindestens vierdimensional, seine Dimension kann aber auch eine beliebige unendliche Kardinalzahl sein. Der Körper K ist kommutativ, wenn und nur wenn in der Geometrie dieses Raumes der Satz von Pappos(-Pascal) gilt. Das ist in endlichen desarguesschen Ebenen immer der Fall (weil endliche Schiefkörper notwendig kommutativ sind).

Von Interesse sind vor allem die „nichtdesarguesschen“ Ebenen, in denen der Satz von Desargues nicht gilt, insbesondere die endlichen unter ihnen. Die Ordnung einer endlichen projektiven Ebene ist die um 1 verminderte Anzahl der Punkte auf einer, also jeder, Geraden. Es ist eine unbewiesene Vermutung, dass jede endliche projektive Ebene von Primzahlpotenzordnung ist (wie die desarguesschen Ebenen). Ein Satz von Bruck und Ryser schließt viele Ordnungen aus. Er sagt: Wenn n = 4k+1 oder 4k+2 Ordnung einer projektiven Ebene ist, dann ist n Summe zweier Quadratzahlen. Die folgenden Zahlen sind daher nicht Ordnungen projektiver Ebenen: 6, 14, 21, 22, 30, 33, 38, 42, 46, ...

Mit großem Computereinsatz wurde gezeigt, dass keine projektive Ebene der Ordnung 10 existiert. Die kleinsten Ordnungen, für welche die Frage der Existenz oder Nichtexistenz ungelöst ist, sind 12, 15, 18, 20. Die kleinste Ordnung einer nichtdesarguesschen projektiven Ebene ist übrigens 9.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X
• Derrick Norman Lehmer: An Elementary Course in Synthetic Projective Geometry. Gutenberg eText

Weblinks

• http://web.archive.org/web/20050504220647/http://www.aip.de/~lie/BOOKS/VG.L.02.pdf
• http://www.math.uni-konstanz.de/~stoss/geoscript.html