Formales System (Logik)

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In der Logik werden bestimmte Arten formaler Systeme, Kalküle, dazu verwendet, exakte Bedingungen für das Schlussfolgern anzugeben, das heißt ohne die Möglichkeit von Mehrdeutigkeiten wiederzugeben oder festzulegen, wie eine Aussage gefolgert werden kann. Ein formales System, das zu solchen logischen Zwecken verwendet wird, wird auch Logikkalkül oder logischer Kalkül genannt.

Die strikte Formalisierung logischer Schlussregeln hatte ihren Ausgangspunkt gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch den Logiker, Mathematiker und Philosophen Gottlob Frege. Die Logik erhielt dadurch eine der mathematischen Formelsprache entsprechende Form, in der exakte, mathematisch strenge Ableitungen und Beweise möglich wurden. Freges Ansatz wurde dann durch Mathematiker wie David Hilbert und Bertrand Russell erweitert.

Es gibt unterschiedliche Arten logischer Kalküle, z. B. logische Hilbert-Kalküle (axiomatische Kalküle) und Gentzentypkalküle (Regelkalküle). Andere Kalkültypen, die in der formalen Logik eingesetzt werden, sind Baumkalküle und Resolutionskalküle sowie seltener graphische Kalküle wie die Existential Graphs.

Nur in den Gentzentypkalkülen gilt der Gentzensche Hauptsatz.

Das MU-Rätsel

Ein für die Einführung in formale Systeme beliebtes Beispiel ist das MU Rätsel aus dem Buch Gödel, Escher, Bach, in dem die Beweisbarkeit eines formalen "Satzes" und der Bezug formaler Systeme zu den Axiomensystemen der Mathematik deutlich wird:

Das formale M,I,U-System

Douglas R. Hofstadter erfand dieses System, um die Anwendung von formalen Systemen im Bereich der Logik und Mathematik zu veranschaulichen. Es ist ein sehr einfaches System, das nur drei Symbole und vier Regeln enthält. Schon die Grundrechenarten der Arithmetik, ebenfalls ein formales System, sind wesentlich komplexer. Da das System keine Entsprechungen für reale Dinge hat, im Gegensatz z. B. zu Zahlwörtern, wird der formale Charakter besonders deutlich. Im formalen System spielt ja genau die Bedeutung der Symbole keine Rolle mehr.

Das System besteht aus den drei Symbolen M, I und U. Symbolketten können durch die folgenden vier Regeln in andere Ketten verwandelt werden:

Regel1: Wenn das letzte Symbol I ist, kann U angefügt werden (aus MI wird MIU)

Regel2: Aus Mx kann Mxx erzeugt werden (aus MIU wird MIUIU)

Regel3: III kann durch U ersetzt werden (aus MUIIII wird MUIU)

Regel4: UU kann gestrichen werden (aus MUUUI wird MUI)

x in Regel2 steht für eine beliebige Symbolkette. xx bedeutet die Verdoppelung der Kette, diese wird also zweimal hinterander gesetzt.

Die Regeln dürfen in beliebiger Reihenfolge auf eine Symbolkette angewendet werden, auch mehrmals hintereinander.

1. MI
2. MII (Regel2)
3. MIIII (Regel2)
4. MUI (Regel3)
5. MUIU (Regel1)
6. MUIUUIU (Regel2)
7. MUIIU (Regel4)

Das Rätsel

1. Vorgegeben ist die Symbolkette MI
2. Gibt es eine Folge der Anwendung der Regeln, so dass die Symbolkette MU aus MI entsteht?

Die Zahl der Zeichen I (I-Wert) ist zu Beginn eins also nicht durch drei teilbar. Durch Anwendung einer der vier Regeln ändert sich daran nichts. Damit hat keine beweisbare Zeichenkette einen durch drei teilbaren I-Wert wie die Zeichenkette MU mit dem I-Wert null.

Die Suche durch Erzeugen aller möglichen Symbolketten (Brute Force-Suche) wird daher nicht zum Erfolg führen.

Axiomensysteme als formale Systeme

Axiome sind Sätze, die von vornherein als wahr vorausgesetzt werden. In Axiomensystemen existieren meist nur einige wenige Axiome. Die euklidische Geometrie hat z. B. nur fünf Axiome.

Im formalen System lassen sich Axiome durch Symbolfolgen darstellen. Im MU-Rätsel ist MI das einzige Axiom. Dieses ist also nach Definition wahr. Mit Hilfe der Umwandlungsregeln lassen sich aus den Axiomen andere Symbolfolgen erzeugen. Der Wahrheitswert ändert sich bei Anwendung dieser Regeln nicht, daher gelten die abgeleiteten Symbolketten ebenfalls als wahr.

Eine Symbolkette wird als mathematischer oder logischer Satz bezeichnet. Die Axiom-Symbolketten sind daher in jedem Fall auch Sätze. Auch die durch Umwandlung erzeugten Symbolketten sind Sätze, genauso wie jede beliebige Symbolfolge.

Kennt man eine Folge der Anwendung der Regeln, die einen Satz aus den Axiom-Symbolketten erzeugt, so ist der Satz wahr. Die Folge ist der Beweis dieses Satzes. Sätze, für die prinzipiell ein Beweis existiert, nennt man beweisbar. Da sich normalerweise nicht jede Symbolkette erzeugen lässt, gibt es beweisbare und nicht beweisbare Sätze.

Im formalen System ist ein Satz beweisbar, wenn es prinzipiell möglich ist, ihn durch Umwandlung aus den Axiomen zu erzeugen. Das MU-Rätsel fragt nach der Beweisbarkeit des "Satzes" MU. Hier darf man nicht Beweis und Beweisbarkeit verwechseln. Kennt man einen Beweis, so ist damit die Beweisbarkeit nachgewiesen. Es ist jedoch nicht immer nötig oder möglich, einen Beweis zu finden. Trotzdem können unter Umständen Aussagen zur Beweisbarkeit oder Nichtbeweisbarkeit gemacht werden, obwohl man den Beweis selbst nicht kennt.

	Element
Symbole	M, I und U
Satz	Jede beliebige Folge der Symbole M I U
Axiom	MI
Schlussfolgerungs-Regeln	Regel1 bis Regel4 (siehe oben)
Beweis eines Satzes	Reihenfolge der Anwendung von Regel1 bis Regel4 auf das Axiom MI, bis der zu beweisende Satz entsteht.
Beweisbarkeit eines Satzes	Möglichkeit der Existenz eines Beweises
MU-Rätsel	Beweisbarkeit des Satzes MU

Das M,I,U-System als Axiomensystem

Widerspruchsfreiheit von Axiomensystemen

Verwendet man ein Symbol zum Ausdrücken der Verneinung (z. B. $\neg$) und definiert, dass nicht wahr gleich falsch ist, so ist ein System widerspruchsfrei, wenn nicht gleichzeitig ein Satz und seine Verneinung bewiesen werden können.

Vervollständigung von Axiomensystemen

Beweisbare Sätze sind nach Definition stets wahr. In den meisten formalen Systemen können Sätze formuliert werden, die weder beweis- noch widerlegbar sind. Widerlegung ist dabei der Beweis der Verneinung. Man kann ein formales System dann erweitern, indem man für einen solchen Satz einfach definiert, ob er wahr oder falsch ist. Im erweiterten System existiert dann ein Beweis oder eine Widerlegung, nämlich einfach die hinzugefügte Definition.

Erstaunlicherweise kann man jedoch nicht jedes System so erweitern, dass alle Sätze auch beweis- oder widerlegbar sind. In manchen Systemen bleiben stets unentscheidbare Sätze übrig. Dies hat Kurt Gödel 1930 mit seinem Unvollständigkeitssatz zweifelsfrei nachgewiesen.

Symbolische Logik

Logiksysteme wie die Aussagenlogik können durch ein formales System definiert werden. Dazu könnte man normale Wörter wie und, oder, nicht verwenden, was die Verständlichkeit erhöhen würde. Allerdings haben solche Wörter stets Nebenbedeutungen, die den exakten Charakter der Aussagen nicht widerspiegeln. Daher werden neue Symbole eingeführt, deren Interpretation keinen Freiraum mehr bietet:

Symbole zur Darstellung der Aussagenlogik

Die folgende Tabelle gibt Symbole wieder, die zu einer Definition der Aussagenlogik dienen können:

Symbol	Beschreibung
A B C ...	Aussage. Eine Aussage wird durch einen Großbuchstaben repräsentiert.
$\neg$	nicht. Verneinung einer Aussage $\neg A$ ist genau dann wahr, wenn A falsch ist, und umgekehrt.
$\wedge$	und. Die Gesamtaussage $A \wedge B$ ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
$\vee$	oder. Die Gesamtaussage $A \vee B$ ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B oder beide wahr sind.
$\leftrightarrow$	ist gleichwertig zu. Die Gesamtaussage $A \leftrightarrow B$ ist wahr, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind.
$\rightarrow$	aus folgt. Die Folgerung $A \rightarrow B$ ist falsch, wenn A wahr, aber B dennoch falsch ist. In allen anderen Fällen ist $A \rightarrow B$ wahr.
( )	Klammern. Klammern dienen dazu, die Ausführung einer Operation vor einer anderen zu erzwingen, wenn Unklarheiten bestehen.

Symbolfolgen sind Sätze

In formalen Systemen entspricht ein Satz genau einer Folge von Symbolen, also einer Symbolkette, etwa

Satz:

$A \wedge B \leftrightarrow \neg ((\neg A) \vee (\neg B))$

Übersetzt heißt dies: Die Aussage "A und B" hat denselben Wahrheitswert wie die Verneinung der Aussage "nicht A oder nicht B".

Ein Satz kann wahr oder falsch sein.

Umwandlungsregeln in einer Logik

Symbolfolgen kann man in formalen Systemen über Regeln in andere Symbolfolgen umformen. Zur Definition der zugelassenen Regeln kann man auch ein (einfacheres) formales System verwenden:

Symbol	Beschreibung
a b c ...	Symbolfolge. Ein Kleinbuchstabe kann durch eine Symbolfolge ersetzt werden. Gleiche Kleinbuchstaben in einer Folge müssen durch gleiche Symbolfolgen ersetzt werden.
$\Leftrightarrow$	kann ersetzt werden durch. Die Symbolfolge auf der linken Seite kann durch die Folge auf der rechten Seite ersetzt werden, ohne den Wahrheitsgehalt zu ändern. Ebenso kann die rechte Folge durch die linke ersetzt werden.
$wahr \quad falsch$	Symbole für eindeutig wahre und falsche Aussagen

Symbole für Umwandlungsregeln (Beispiel)

Eine Umwandlungsregel könnte dann so aussehen:

Schlussregel1:

$\neg\neg a \Leftrightarrow a$.

Dies bedeutet, dass man $\neg\neg$ auf der linken Seite jedes Satzes entfernen oder hinzufügen darf. Umgangssprachlich entspricht dies der doppelten Verneinung:

Schlussregel1: Die Verneinung der Verneinung einer Aussage ist die Aussage selbst

Weitere Umwandlungsregeln sind z. B.

Schlussregel2:	$\neg falsch \Leftrightarrow wahr$
Schlussregel3:	$wahr \vee a \Leftrightarrow wahr$
Schlussregel4:	$a \vee \neg a \Leftrightarrow wahr$
Schlussregel5:	$a \rightarrow b \Leftrightarrow (\neg a) \vee b$
Schlussregel6:	$\neg a \vee \neg b \Leftrightarrow \neg (a \wedge b)$
Schlussregel7:	$\neg a \wedge \neg b \Leftrightarrow \neg (a \vee b)$
$\cdots$	$\cdots$

Die Punkte deuten an, dass noch viele weitere Umwandlungsregeln definiert werden können. Dies sind die Schlussfolgerungs-Regeln für die formale Logik. Sie können rein formal ohne Bezug zur Bedeutung der Symbole angewendet werden. Damit verhalten sich die Regeln wie Rechenregeln.

Trotzdem wurden die Regeln "sinnvoll" gewählt. Schlussregel3 bedeutet, dass eine wahre Aussage oder eine beliebige Aussage als Gesamtaussage immer wahr ist. Dagegen bedeutet die kompliziertere Schlussregel5 (Folgerung) übersetzt etwa:

Schlussregel5: aus a folgt b kann ersetzt werden durch die Aussage "Verneinung von Aussage a oder Aussage b".

Die Folgerung $a \rightarrow b$ ist genau dann falsch, wenn a wahr, aber b dennoch falsch ist. Umgekehrt ist sie also wahr, wenn a falsch oder wenn b wahr ist. Dies entspricht formal $(\neg a) \vee b$ (lies: nicht a oder b).

Beweise

Ein zu beweisender Sachverhalt besteht oft aus einer Behauptung und einer Schlussfolgerung. Im formalen System wird eine Behauptung b als Symbolfolge dargestellt, ebenso die Schlussfolgerung s. Der Beweis wird geführt, indem der Satz "aus der Behauptung folgt die Schlussfolgerung" in wahr umgewandelt wird:

Formaler Beweis:

$b \rightarrow s$ (aus der Behauptung b folgt die Schlussfolgerung s) kann mit Hilfe der Umwandlungsregeln überführt werden in wahr.

Beweis des Satzes: Aus Falschem folgt Beliebiges

Der klassische Satz ex falso quod libet (aus Falschem folgt Beliebiges) kann formal dargestellt und bewiesen werden. In unserem formalen System lautet er:

$\mbox{falsch} \rightarrow b$

Die Folgerung aus einer falschen Aussage ist immer wahr

Beweis:

Zum Beweis wenden wir die Umformungsregel für die Folgerung an:

$\neg \mbox{falsch} \vee b$ (Schlussregel5)

Nicht falsch ist aber wahr:

$\mbox{wahr} \vee b$ (Schlussregel2)

Schließlich ist eine wahre Aussage oder Beliebiges immer wahr.

wahr (Schlussregel3)

Der Satz ist damit formal bewiesen. Der Beweis könnte durch ein Computerprogramm erfolgen, das nur die Symbole kennt und die Schlussregeln anwendet.

Formale Prädikatenlogik

Ein klassisches Beispiel für ein Axiomensystem in der Mathematik ist die Gruppentheorie. Eine Gruppe lässt sich über einer Menge und einer zugehörigen (Rechen-)Operation bilden. Mathematische Sätze lassen sich allein aus den vier Axiomen der Gruppe gewinnen. Die Sätze gelten dann für alle Mengen mit zugehöriger Operation, deren Eigenschaften sich auf die Gruppenaxiome abbilden lassen.

Symbole sind die Elemente der Menge und das Operatorsymbol. Mit Hilfe der Prädikatenlogik lassen sich Axiome und Sätze formal darstellen und beweisen. Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik um

Prädikatenlogik-Symbol1: $\forall a :$ für alle a gilt:

Prädikatenlogik-Symbol2: $\exists b :$ es existiert (mindestens ein) b, so dass

Daneben werden die Symbole der Aussagenlogik verwendet:

$\neg$	nicht. Verneinung einer Aussage $\neg A$ ist genau dann wahr, wenn A falsch ist, und umgekehrt.
$\wedge$	und. Die Gesamtaussage $A \wedge B$ ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.
$\vee$	oder. Die Gesamtaussage $A \vee B$ ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B oder beide wahr sind.

a, b, c, ... sind Platzhalter für die Elemente der vorgegebenen Menge, $\circ$ das Operatorsymbol. Die Operation wird im Folgenden Multiplikation genannt, obwohl jede beliebige Rechenoperation gemeint sein kann. Dann kann man die Axiome der Gruppentheorie formal so darstellen:

Formales Axiom	Beschreibung
$\forall a : \forall b : \exists c : a \circ b = c \Leftrightarrow wahr$	Für alle a und b gibt es ein c, so dass a mit b multipliziert c ergibt.
$\forall a : \forall b : \forall c : (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \Leftrightarrow wahr$	Wird das Ergebnis der Multiplikation von a und b anschließend multipliziert mit c, so erhält man dasselbe wie wenn zunächst b mit c und danach a mit dem Ergebnis multipliziert. Dies gilt für alle a, b, c.
$\exists e : \forall b : e \circ b = b \wedge b \circ e = b \Leftrightarrow wahr$	Es existiert ein e, so dass für jedes b gilt: die Multiplikation von e mit b ergibt stets b, ebenso die Multiplikation von b mit e. e heißt neutrales Element.
$\forall a: \exists b : a \circ b = e \wedge b \circ a = e \Leftrightarrow wahr$	Für jedes a gibt es ein b, das mit diesem zusammen multipliziert das neutrale Element ergibt.

Darstellung der Axiome der Gruppentheorie mit Hilfe der Prädikatenlogik

Aus den Umwandlungsregeln der Prädikatenlogik lassen sich aus diesen Axiomen die Sätze der Gruppentheorie rein formal ableiten. Eine solche Regel ist z. B.

Prädikatenlogikregel1: $\neg \exists a : B \Leftrightarrow \forall a : \neg B$

Hier die Übersetzung:

Prädikatenlogikregel1: Wenn kein Element a existiert, so dass die Aussage B erfüllt ist, so ist dies gleichbedeutend damit, dass für alle a die Aussage B nicht gilt.

Die dargestellte Prädikatenlogik heißt Prädikatenlogik erster Stufe. Sie erlaubt Aussagen der Form "Alle Objekte haben die Eigenschaft" bzw. "Mindestens ein Objekt hat die Eigenschaft ...", jedoch keine Aussagen der Form "Für die Eigenschaft gilt: ...". Dies ist Logiken höherer Stufe vorbehalten. Trotzdem erlaubt die Prädikatenlogik erster Stufe die Formalisierung der Mengenlehre und damit nahezu der gesamten Mathematik.

Formale Beweise in der mathematischen Logik

Mathematische Sätze werden bewiesen, indem man sie mit Hilfe der Schlussregeln der Prädikatenlogik auf die Zeichenkette wahr zurückführt. Stößt man auf ein Axiom, kann man dieses sofort durch wahr ersetzen. Trifft man bei Umformungen auf einen früher bewiesenen Satz, entspricht er dann ebenfalls dem Symbol wahr.

Umgekehrt kann man stets auch wahr durch ein beliebiges Axiom ersetzen. Mathematische Theorien lassen sich daher sukzessive aufbauen, indem man komplizierte Sätze auf einfachere und diese auf die Axiome rückführt (Deduktion) oder durch Umformung aus Axiomen Sätze und aus diesen weitere Sätze bildet (Induktion).

Literatur

• Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, ein endlos geflochtenes Band. DTV 1991 ISBN 3423300175
• D. Hilbert, W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik. 6. Aufl. Springer 1972 ISBN 3540058435

Weblinks

• Lösung des MU Rätsels

Siehe auch

• Formale Systeme (nicht nur in der Logik)
• Kalküle (mit anderen Schwerpunkten)