Fouriersches Gesetz

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Unter Wärmeleitung, auch Wärmediffusion oder Konduktion genannt, wird in der Physik der Wärmefluss in einem Feststoff oder einem ruhenden Fluid infolge eines Temperaturunterschiedes verstanden. Wärme fließt dabei (gemäß der Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik) immer nur in Richtung geringerer Temperatur. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes geht dabei keine Wärmeenergie verloren. Wärmeleitung ist ein Mechanismus zum Transport von thermischer Energie von einem Ort zu einem anderen, er ist niemals mit dem Transport von Teilchen verknüpft. Konkurrierende Mechanismen sind Konvektion und Wärmestrahlung.

Ein Maß für die Wärmeleitung in einem bestimmten Stoff ist die Wärmeleitfähigkeit.

Zur Berechnung von Wärmeleitung kann auch die Analogie zum elektrischem Strom verwendet werden, siehe Wärmewiderstand. Dann sind Wärmeleitfähigkeits- und Wärmekapazitätsberechnungen mit den Methoden der Elektrotechnik möglich.

Fouriersches Gesetz

Die durch Wärmeleitung übertragene Wärmeleistung $\dot{Q}$ wird durch das Fouriersche Gesetz (1822) (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) beschrieben, das für den vereinfachten Fall eines festen Körpers mit zwei parallelen Wandflächen lautet:

$\dot{Q} = {\frac{\lambda}{\delta}} A (T_{W_{1}}-T_{W_{2}})$.

Einheit für $\dot{Q}$ : W (Watt)

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

• $T_{W_{1}}$ die Temperatur der wärmeren Wandoberfläche
• $T_{W_{2}}$ die Temperatur der kälteren Wandoberfläche
• A die Fläche, durch die die Wärme strömt,
• λ die Wärmeleitfähigkeit, eine meist temperaturabhängige Stoffgröße, und
• δ die Dicke der Wand.

Aus heutiger Sicht wird der Wärmetransport durch den schärferen Begriff der Wärmestromdichte $\dot{\vec{q}}$ beschrieben. Die Ansätze dazu gehen wieder auf Fourier und Newton zurück. Die Notation $\dot{\vec{q}}$ formuliert die partielle Zeitableitung des Wärmestromvektors $\vec{q}$. Es gilt folgende Definition:

$\dot{\vec{q}} = -\lambda \, \operatorname{grad} \, T$.

Mathematisch wird wird das Phänomen "Wärmeleitung" durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben. Sie hat eine parabolische Charakteristik. In ihrer allgemeinen Form kann diese partielle Differentialgleichung in folgender Form angegeben werden.

$\frac{\partial u(\vec r,t)}{\partial t} =a\, \Delta u(\vec{r},t)$

Spezialisiert man diese Gleichung auf die sogenannte Wärmeleitungsgleichung, muss einschränkend bemerkt werden, dass diese Form der Wärmeleitungsgleichung nur für homogene, isotrope Medien gilt. Also nur für Medien, die überall gleiche Zusammensetzung haben und die keine Vorzugsorientierung aufweisen (zu Vorzugsorientierungen kommt es z.B. durch Fasern in Verbundmaterialien, aber auch durch sog. Kornstreckungen in gewalzten Blechen, etc.). Für diese Fälle - und nur für diese(!) können die Materialeigenschaften des betrachteten Mediums als ausschließlich von der Temperatur abhängige Größen angenommen werden. Streng genommen gilt die so formulierte Gleichung auch nur dann, wenn durch keine Fremdeffekte Wärme in den betrachteten Körper eingebracht oder aus ihm entfernt wird. Ist das der Fall, müsste ein sog. Quellterm hinzugefügt werden. Unter diesen Einschränkungen gilt dann folgende Form der Wärmeleitungsgleichung:

$\frac{\partial T(\vec r,t)}{\partial t} =a(T)\, . \Delta T(\vec{r},t)$

Die Differentialgleichung beschreibt generell Transportprozesse (wie z.B. Diffusionsprozesse - worunter man einen Materialtransport auf Grund eines Konzentrationsunterschiedes versteht, oder im Fall der Wärmeleitungsgleichung eben ein "Wandern" der Temperaturverteilung in einem Körper auf Grund eine Temperaturgefälles). Die analytische Lösung dieser Gleichung ist in vielen Fällen nicht möglich. Heute berechnet man technisch relevante Wärmeleitaufgaben mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Als Resultat kennt man die zeitliche wie räumliche Temperaturverteilung (Temperaturfeld). Damit kann man z.Bsp. auf das räumliche Ausdehnungsverhalten der Bauteile schließen, das seinerseits wieder den örtlichen Spannungszustand mitbestimmt. So wird die Temperaturfeldrechnung zu einer wichtigen Grundlage für alle technischen Auslegungsaufgaben, bei denen die thermischen Bauteilbelastung nicht vernachlässigt werden kann.

Mechanismen

Material	Wärmeleitzahl bei 20°C in W / m•K
Kupfer (rein)	395
Eisen	81
Glas	0,76
Wasser	0,58
Öl	0,145
Luft	0,0261
Xenon	0,0051

Dielektrische Festkörper

In dielektrischen Festkörpern (Isolatoren) geschieht die Wärmeleitung nur durch Gitterschwingungen, den so genannten Phononen. Alle Elektronen sind an Atome gebunden und können deshalb keinen Beitrag zu Wärmeleitung liefern.

Elektrisch leitfähige Festkörper

In elektrisch leitfähigen Körpern wie z.B. Metallen wird der Beitrag der Phononen am gesamten Wärmeleitungsvermögen weit übertroffen durch den Anteil, den die freien Ladungsträger, in der Regel Elektronen, beitragen. Diese können sich im Metall frei bewegen und bilden ein „Elektronengas“. Da die Elektronen aus quantenmechanischen Gründen (Pauli-Prinzip) unterschiedliche Energiezustände einnehmen müssen, bewegen sich viele so schnell, wie es einer Temperatur von einigen 10000 K für das Elektronengas entspräche (siehe Fermi-Verteilung). Je mehr Leitungselektronen im Metall vorhanden sind, desto höher ist dieser Anteil des Wärmeleitungsvermögens. Gute elektrische Leiter wie Kupfer übertragen die Wärme deshalb besser als schlechte elektrische Leiter wie Eisen. Dieser Zusammenhang führt zum Wiedemann-Franzschen Gesetz.

Flüssigkeiten und Gase

Auch in Flüssigkeiten und Gasen wird die Wärmeleitung durch Stöße zwischen Teilchen dominiert, doch ist deren Bewegung stärker und es wirken auch andere Effekte (Durchmischung, Diffusion etc.). Die Wärmeleitung in Gasen hängt nicht vom Druck ab, solange die freie Weglänge der Teilchen klein gegen die Gefäßdimensionen ist. Wenn allerdings die mittlere freie Weglänge durch ein Gefäß (z.B. Thermoskannenwand oder durch Mikroporöse Substanzen (d in nm Bereich) begrenzt wird, ist die Wärmeleitfähigkeit direkt proportional zum Druck. Diesen Effekt machen sich Vakuumdämmplatten zu nutze.

Leichte Atome bzw. Moleküle leiten besser als schwere. Im Gegensatz zur Konvektion bilden sich bei reiner Wärmediffusion in Flüssigkeiten und Gasen keine Wirbel.

Im allgemeinen gelten Metalle als gute und Gase als schlechte Wärmeleiter. Die Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten liegt im allgemeinen ungefähr eine Zehnerpotenz über der von Gasen. Als Beispiel Wärmeleitzahlen bei einer Stofftemperatur von 20°C in W / m•K (Ausführliche Tabelle):

Suprafluide

In Suprafluiden erfolgt der Wärmetransport nicht wie üblich durch Diffusion, sondern durch Temperatur-Pulse mit Wellencharakter. Dieser Effekt wird zweiter Schall genannt.

Beispiele

• Bei einem Heizkörper, Wärmerohr oder Tauchsieder gelangt die Wärmeenergie aus dem heißen Innenraum mittels Wärmeleitung durch das Gehäuse nach außen.
• Bei einem Lötkolben muss zwischen Heizelement und Spitze ein gut leitendes Metall wie Kupfer zur Übertragung der Wärmeenergie eingebaut werden. Andere Metalle wie Eisen leiten die Wärme nicht gut genug.
• Beim Stirlingmotor muss - im Gegensatz zum Ottomotor - die gesamte Antriebsenergie von der externen Wärmequelle mittels Wärmeleitung auf das Arbeitsgas im Zylinderraum übertragen werden. Die relativ schlechte Wärmeleitfähigkeit aller Metalle begrenzt die maximal erzielbare Leistung des Stirlingmotors.
• Kühlschränke werden mit Glaswolle oder Polystyrol ummantelt, um den Wärmestrom von außen nach innen möglichst gering zu halten.
• In einer Thermoskanne oder einem Vakuumröhrenkollektor für Solaranlagen wird u.a. Vakuum eingesetzt, um die Wärmeleitung gering zu halten.
• Bei Fenstern verwendet man nur noch Mehrscheiben-Isolierglas mit sehr geringem Wärmedurchgangskoeffizient, um den Anforderungen der Energieeinsparverordnung zu entsprechen und damit die Heizkosten gering zu halten.

Siehe auch

• Wärmeübertragung
• Temperaturleitfähigkeit
• Wärmeleitfähigkeit

Literatur

• Fricke, Jochen; Borst, Walter L.: Energie, Ein Lehrbuch der Physikalischen Grundlagen Oldenbourg Verlag München Wien 1984
• Kittel, Charles: Einführung in die Festkörperphysik verschiedene Auflagen, Oldenbourg, München