Frullanische Integrale

Als frullanische Integrale werden uneigentliche Integrale vom Typ

$\int\limits_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm d}x$

bezeichnet. Sie wurden erstmals 1821 von Giuliano Frullani in einem Brief erwähnt und 1828 veröffentlicht. Es gilt der folgende Satz:

Sei f(x) eine für $x\ge0$ stetige Funktion mit A: = f(0) und dem endlichen Grenzwert $B:=\lim_{x\to\infty} f(x)$, dann gilt

$\int\limits_0^{\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\,{\rm d}x = (A-B)\ln\frac{b}{a}$.

Wichtige Beispiele ergeben sich für $f(x)=e^{-x}\$ bzw. $f(x)=\arctan x\$ mit a,b > 0:

$\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,{\rm d}x = \ln\frac{b}{a}$

$\int\limits_0^{\infty}\frac{\arctan(ax) - \arctan(bx)}{x}\,{\rm d}x = \frac{\pi}2 \ln\frac{a}{b}$

Literatur

• G. Frullani, Sopra Gli Integrali Definiti, Memorie della Società Italiana delle Scienze, Modena, XX (1828), pp. 448-467.
• T. J. Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Macmillan, 1908, 432-433.
• A. M. Ostrowski, On some generalisations of the Cauchy-Frullani integral, Proc Natl Acad Sci U S A. 35 (1949), 612–616. (Coll. Math. Papers 148-152)
• Francesco G. Tricomi: On the theorem of Frullani. American Mathematical Monthly, 58, 1951, Seiten 158-164.
• A. M. Ostrowski, On Cauchy-Frullani Integrals, Commentarii Mathematici Helvetici 51 (1976), 57-91. (Coll. Math. Papers 349-383)
• Juan Arias-de-Reyna, On the Theorem of Frullani, Proc. A.M.S. 109 (1990), 165-175.
• Matthew Albano, Tewodros Amdeberhan, Erin Beyerstedt, and Victor H. Moll, The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 15: Frullani integrals, 2010, 7 Seiten.