Gaußsche Dreiecksformel

Mit Hilfe der gaußschen Trapezformel (nach Carl Friedrich Gauß) ist es möglich, die Fläche zwischen mehreren auf eine Messungslinie bezogenen/koordinierten Punkten, also beispielsweise die Fläche eines einfachen Polygons, zu berechnen. Durch die Zerlegung der gesuchten Fläche in einzelne auf die Messungslinie bezogenen Trapeze erfolgt die Berechnung.

Wortformel: Die doppelte Fläche entspricht der Summe des aktuellen Rechtswertes und des darauf folgenden, multipliziert mit der Differenz aus aktuellem Hochwert und folgendem Hochwert.

oder:

Die doppelte Fläche entspricht der Summe des aktuellen Hochwertes und des darauf folgenden, multipliziert mit der Differenz aus folgendem Rechtswert und aktuellem Rechtswert.

• $2 A=\sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i-x_{i+1})$
• $2 A=\sum_{i=1}^n (x_i + x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)$

wobei die Indizes, die größer als n sind, immer modulo n betrachtet werden müssen, d.h. mit x_{n + 1} ist x₁ gemeint.

Erfolgt die Flächenberechnung im Uhrzeigersinn, so bildet sich eine negative Fläche. Im Gegensatz hierzu wird das Ergebnis bei Berechnung im mathematisch positiven Drehsinn, d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn, positiv.

Beispiel

Die Dokumentation des Rechenweges kann auf unterschiedliche Art und Weise geschehen. Zur Vereinfachung dieser Schreibweise dienen z.B. innerhalb des Vermessungswesens vorgefertigte Vordrucke.

Zerlegt man die auf dem Bild zu sehende Einzelfläche A in die 4 Teilflächen A_I,A_II,A_III und A_IV, so erhält man folgende Formel

• A = A_II + A_III − A_I − A_IV

Somit ist

• 2A = (y₂ + y₃)(x₂ − x₃) + (y₃ + y₄)(x₃ − x₄) − (y₂ + y₁)(x₂ − x₁) − (y₁ + y₄)(x₁ − x₄).

Setzt man jedoch die gegebenen Rechts- und Hochwerte vorzeichentreu in die zuerst genannte Formel ein, so ergibt sich durch

• 2A = (y₁ + y₂)(x₁ − x₂) + (y₂ + y₃)(x₂ − x₃) + (y₃ + y₄)(x₃ − x₄) + (y₄ + y₁)(x₄ − x₁)

ebenfalls die gesuchte Einzelfläche.

Dreiecksformel

Die gaußsche Dreiecksformel ergibt sich durch das Ausklammern und Umstellen der Trapezformel. Die Indizes, die größer als n sind, müssen wieder modulo n betrachtet werden, d.h. mit x_{n + 1} ist x₁ gemeint und mit x_{n + 2} ist x₂ gemeint.

$\begin{align} 2A &= \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i-x_{i+1})\\ &= \sum_{i=1}^n \bigl(y_i(x_i-x_{i+1})+ y_{i+1}(x_i-x_{i+1})\bigr)\\ &= \sum_{i=1}^n \bigl(y_ix_i-y_ix_{i+1}+ y_{i+1}x_i-y_{i+1}x_{i+1}\bigr)\\ &= \sum_{i=1}^n \bigl(-y_ix_{i+1}+ y_{i+1}x_i\bigr) + \underbrace{\sum_{i=1}^n \bigl(y_ix_i-y_{i+1}x_{i+1}\bigr)}_{=0}\\ &= \sum_{i=1}^n \bigl(y_{i+1}x_i-y_ix_{i+1}\bigr)\\ &= \sum_{i=1}^n \bigl(y_ix_{i-1}-y_ix_{i+1}\bigr)\\ &= \sum_{i=1}^n y_i(x_{i-1}-x_{i+1}). \end{align}$

analog lässt sich

• $2 A=\sum_{i=1}^n (x_i + x_{i+1})(y_{i+1}-y_i)$

zu

• $2 A=\sum_{i=1}^n x_i(y_{i+1}-y_{i-1})$

umformen.

Die Wortformel:

Die doppelte Fläche entspricht dem Produkt aus dem aktuellen Rechtswert und der Differenz aus vorherigem Hochwert und folgendem Hochwert.

oder:

Die doppelte Fläche entspricht dem Produkt aus dem aktuellen Hochwert und der Differenz aus vorherigem Rechtswert und folgendem Rechtswert.

Anwendung

Im Regelfall dient sie zur Flächenbestimmung im Gauß-Krüger-Koordinatensystem. Hierbei muss jedoch die Flächenverzerrung abhängig vom Abstand zum Hauptmeridian berücksichtigt werden.

Formel zur Berücksichtigung der Flächenverzerrung: $r = \frac{F\cdot y^2}{R^2}$

• r = Flächenreduktion
• F = Ausgangsfläche
• y = Abstand zum Hauptmeridian
• R = Erdradius (geodätischer Erdradius = 6381 km)