Gebietseinteilung

Die Gebietseinteilung ist eine Methode der Kurvendiskussion in der Mathematik. Sie wird dazu verwendet, die Gebiete eines Koordinatensystems zu markieren, in denen die Kurve einer unecht gebrochenen rationalen Funktion nicht verläuft. Mit Hilfe einiger Kurvenpunkte lässt sich der Kurvenverlauf in den freibleibenden Gebieten relativ gut andeuten.

Die drei Formen

Für die Gebietseinteilungen wird die Funktion in zwei neue Formen gebracht.

Als ersten Schritt empfiehlt sich die Umwandlung in eine echtgebrochene Funktion. Beispiel: Gegeben sei die Funktion $y=f(x)= \frac{4x^2+8x-12}{x^2-1}$. Daran, dass im Zähler größere oder gleichgroße Exponenten von x stehen, erkennt man, dass es sich um einen unechtgebrochenen Term handelt. Durch Polynomdivision des Zählers durch den Nenner erhält man den echtgebrochenen Term: $4+ \frac{8x-8}{x^2-1}$ Die dritte Form (Produktform) erhält man auf die gleiche Art, wie man auch die Nullstellen, Polstellen und Lücken bestimmt. Deshalb ist es egal, ob man diese zuerst bestimmt und daraus die dritte Form erstellt oder umgekehrt. Für unser Beispiel würde sie wie folgt aussehen: $\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Kurvendiskussion ohne Ableitungen

Danach folgt eine Kurvendiskussion: Es werden die Nullstellen, die Polstellen, die Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen bestimmt. Die eigentliche Gebietseinteilung erfolgt im nächsten Schritt

Die erste Gebietseinteilung

Zuerst multipliziert man die Gleichung mit dem Nenner, so dass man keinen Bruch mehr hat. Jetzt setzt man jedes Produkt der Gleichung jeweils gleich Null. Dadurch bekommt man mehrere neue Gleichungen, meistens senkrechte, waagerechte oder winkelhalbierende Geraden, die man als Grenze in ein Koordinatensystem einzeichnet. Dabei empfiehlt sich, mit zwei Farben zu arbeiten, um Grenzen, die von der linken Seite der Gleichung kommen, von denen der rechten Seite zu unterscheiden. Schnittpunkte von verschiedenfarbigen Grenzen sind Kurvenpunkte. Beim Einzeichnen der Grenzen wird zu jeder Grenze deren Wert geschrieben. Für x² = 0 ergibt sich eine zweifache senkrechte Grenze bei x=2.

Danach wird ein Probepunkt genommen. Dieser Punkt darf allerdings nicht auf einer der Grenzen der ersten Gebietseinteilung liegen. Der Punkt wird in die Gleichung eingesetzt, allerdings interessiert dabei nur, ob das Ergebnis der jeweiligen Seite negativ oder positiv wird. Danach vergleicht man das Ergebnis. Hat man unterschiedliche Vorzeichen, so gibt es in dem Gebiet, aus dem der Probepunkt genommen wurde, keine Funktionswerte. Jetzt kann man über eine einfache Grenze gehen, um in ein Gebiet zu kommen, in dem es Kurvenpunkte gibt.

Gilt für ein Gebiet, dass in ihm die Kurve verläuft, so ist ein Kurvenverlauf durch ein weiteres Gebiet, das durch eine einfache, dreifache, fünffache usw. Grenze von diesem getrennt ist, ausgeschlossen.