Gegeninduktivität

Der elektrotechnische Begriff der Gegeninduktivität kennzeichnet die gegenseitige magnetische Beeinflussung zweier oder mehrerer räumlich benachbarter Stromkreise. Die Gegeninduktivität ist im Gegensatz zur Selbstinduktivität für die magnetische Kopplung mehrerer galvanisch getrennter Leitersysteme verantwortlich. Die wichtigste technische Anwendung findet die Gegeninduktivität bei einem Transformator.

Prinzip

Eine stromdurchsetzte (erste) Leiterschleife bewirkt, abhängig von ihrer Geometrie, die Erzeugung eines Magnetfeldes in ihrer räumlichen Umgebung. Dieses ist aufgrund des Biot-Savart'schen Gesetzes direkt proportional zum Momentanwert der Stromstärke.

Flussverkettung zweier Leiterschleifen

$\vec B(\vec r) \propto i_1$

Der Fluss durch die zweite Leiterschleife lässt sich dann nach Michael Faraday (1831) als Flächenintegral der wirksamen Fläche A und der in dieser enthaltenden Feldstärke (Magnetfeld B) beschreiben

$\Phi_2 = \iint_ {A} \vec B(\vec r) \cdot \mathrm{d} \vec A$

Doch die eigentliche Erkenntnis von Faraday im Induktionsgesetz war, dass nicht der Fluss Φ sondern die zeitlichen Veränderung für die Induktion verantwortlich sind. Somit läst sich für die Gegeninduktivität M analog zur Selbstinduktion L folgende Gleichung herleiten:

$\frac{\mathrm{d} \Phi_2}{\mathrm{d}t} = M_{21}\cdot \frac{\mathrm{d} i_1}{\mathrm{d}t}$

Aufgrund dieser Definition kann die Gegeninduktivität als Verallgemeinerung der Selbstinduktivität angesehen werden. Sie wird, wie diese, in der SI Einheit Henry [H] angegeben.

Symmetrie

Eine erstaunliche Tatsache ist die Symmetrie der Flussverkettungen: Die Gegeninduktivität vom System 1 auf System 2 ist gleich groß wie für den umgekehrten Fall:

$M_{21} = M_{12} \quad$

Diese Beziehung erleichtert in vielen Fällen die praktische Berechnung von Flussverkettungen. So kann beispielsweise leicht ein Ausdruck für die Flussverkettung einer langen Spule mit einer kleineren, konzentrisch angebrachten Empfängerspule berechnet werden. Der umgekehrte Fall, nämlich die Verkettung des Flusses der kleinen mit der großen Spule würde ohne Kenntnis der obigen Relation vermutlich auf erhebliche analytische Schwierigkeiten stoßen. Die beschriebene Symmetrie welche auch als magnetisches Reziprozitätstheorem bezeichnet wird, kann mit den mathematischen Mitteln der Vektoranalysis unter Zuhilfenahme der Maxwellgleichungen bewiesen werden.

Beweis der magnetischen Reziprozität

Das Magnetfeld B kann als Rotor eines Vektorpotenzials ausgedrückt werden:

$\vec B = \vec \nabla \times \vec A$

Der magnetische Fluss durch die zweite Leiterschleife wird dann ($\mathrm{d} \vec a$ bezeichnet ein infinitesimales Flächenelement)

$\Phi_2 =\int_{L_2} \vec B \cdot \mathrm{d} \vec a = \int_{L_2} \big( \vec \nabla \times \vec A \big) \cdot \mathrm{d} \vec a = \int_{L_2} \vec A \cdot \mathrm{d} \vec s_2$

Nun kann aber das Vektorpotenzial A auf das Linienintegral des Stroms i in der ersten Leiterschleife zurückgeführt werden (dies ist eine andere Schreibweise für das Gesetz von Biot-Savart):

$\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{L_1} \frac{\mathrm{d} \vec s_1}{\vert \vec r - \vec x_1 \vert}$

Dies eingesetzt in die vorletzte Gleichung, ergibt:

$\Phi_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi} \int_{L_1}\int_{L_2} \frac{\mathrm{d} \vec s_1 \cdot \mathrm{d} \vec s_2 }{\vert \vec x_2 - \vec x_1 \vert}$

M wird daher

$M_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{L_1}\int_{L_2} \frac{\mathrm{d} \vec s_1 \cdot \mathrm{d} \vec s_2 }{\vert \vec x_2 - \vec x_1 \vert} = M_{21}$

Anwendung

• Das Prinzip der Gegeninduktion wird zum Betrieb eines Spaltmotors genutzt.
• Transformatoren werden in der Elektrotechnik oft durch eine Gegeninduktivität modelliert.
• Die induzierte Spannung in einer Leiterschleife, welche durch eine andere Leiterschleife bewirkt wird, ist

$U_{2} = M_{21} \cdot \frac{\mathrm{d} i_1}{\mathrm{d}t}$

• Aufgrund der Symmetrie ist eine Gegeninduktivität formal ein reziproker Vierpol.
• Das Prinzip der Gegeninduktion ist in der EMV wichtig, weil sie der Grund für die Übertragung von Energieimpulsen z.B. Blitzschlag auf elektronische Geräte ist.

Fachliteratur

• Pascal Leuchtmann: Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie, Pearson Studium, 2005, ISBN 3-8273-7144-9
• Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main, 2000, ISBN 3-8171-1628-4
• Prof. Dr. Günter Springer: Fachkunde Elektrotechnik. 18.Auflage, Verlag - Europa - Lehrmittel, Wuppertal, 1989, ISBN 3-8085-3018-9

Siehe auch

• Elektromagnetische Induktion
• Lenzsche Regel