Geometrische Brownsche Bewegung

Drei (abhängige) geometrische brownsche Bewegungen mit Drift μ=0,8 und Volatilität σ=0,4 (blau), σ=0,25 (rot) und σ=0,1 (gelb)

Die geometrische brownsche Bewegung ist ein stochastischer Prozess, der sich von der brownschen Bewegung her ableitet. Sie findet vor allem in der Finanzmathematik Verwendung.

Definition

Sei W_t eine Standard-Brownsche-Bewegung. So ist $S_t = a \exp\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) t + \sigma W_t \right]$ eine geometrische brownsche Bewegung.

Herleitung

Drei unabhängige geometrische brownsche Bewegungen mit Volatilität 0,2 und Drift 0,7 (grün), 0,2 (blau) und -0,7 (rot)

Die geometrische brownsche Bewegung ist Lösung der stochastischen Differentialgleichung

$\mathrm{d}S_t = \mu S_t \, \mathrm{d}t + \sigma S_t \,\mathrm{d}W_t, \quad t\ge0, \quad S_0=a$

Der Parameter μ heißt dabei Drift und beschreibt die deterministische Tendenz des Prozesses. Ist μ > 0, so wächst der Wert von S in Erwartung, ist er negativ, fällt S tendenziell. Für μ = 0 ist S ein Martingal.

Der Parameter σ beschreibt die Volatilität und steuert den Einfluss des Zufalls auf den Prozess S. Ist σ = 0, so verschwindet der Diffusionsterm in der obigen Differentialgleichung, übrig bleibt die gewöhnliche Differentialgleichung

$\mathrm{d}S(t)=\mu \, S(t) \, \mathrm{d}t, \; S(0)=a$,

die die Exponentialfunktion S(t) = ae^μt als Lösung besitzt. Deshalb kann man die geometrische brownsche Bewegung als stochastisches Pendant zur Exponentialfunktion auffassen.

Eigenschaften

• Erwartungswert: für alle $t \ge 0$ gilt: $\mathbb{E}(S_t)=a \mathrm{e}^{\mu t}$

• Kovarianz: Für alle $s,t \ge 0$ gilt: $\mathrm{Cov}(S_s,S_t)=a^2 \mathrm{e}^{\mu (t+s)}(\mathrm{e}^{\sigma^2 \min(t,s)}-1)$

Insbesondere gilt also $\mathrm{Var}(S_t)=a^2 \mathrm{e}^{2\mu t}(\mathrm{e}^{\sigma^2 t}-1)$.

• Die geometrische brownsche Bewegung hat unabhängige multiplikative Zuwächse, d. h. für alle $0\le t_1 \le t_2 \ldots \le t_n$ sind

$S_{t_1},\frac{S_{t_2}}{S_{t_1}}, \ldots \frac{S_{t_n}}{S_{t_{n-1}}}$ unabhängig.

• Verteilungsfunktion: $\frac{S_t}{a}$ ist logarithmisch normal verteilt mit Parametern (µ-½σ²)t und σ²t.

Anwendung

Im Black-Scholes-Modell, dem einfachsten und am weitesten verbreiteten (zeitstetigen) finanzmathematischen Modell zur Bewertung von Optionen, wird die geometrische Brownsche Bewegung als Näherung für den Preisprozess eines Underlying (z. B. einer Aktie) herangezogen. Dazu führte die vereinfachende Annahme, dass die prozentuale Rendite über disjunkte Zeitintervalle unabhängig und normalverteilt ist. µ spielt hier die Rolle des risikofreien Zinssatzes, σ repräsentiert das Schwankungsrisiko an der Börse. Die oben erwähnte Martingaleigenschaft spielt hier eine zentrale Rolle.