Geometrische Vielfachheit

Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra. Er bezeichnet den von den Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus aufgespannten Untervektorraum.

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und $\varphi \in End(V)$ ein Endomorphismus. E(λ) heißt dann der Eigenraum zum Eigenwert λ von $\varphi$.

$\begin{matrix} E(\lambda)&:=&\mathrm{Kern}(\varphi - \lambda id_V) \\ \ &=&\left\{ x \in V | \varphi (x)= \lambda x \right\} \\ \ &=&\left\{ x \in V | x \neq 0, \ \varphi(x) = \lambda x \right\} \cup \left\{ 0 \right\} \end{matrix}$

Man sagt dann auch, $E\left(\lambda\right)\subset V$ ist invariant bezüglich des Endomorphismus $\varphi$ oder $E\left(\lambda\right)$ ist ein $\varphi$-invarianter Untervektorraum von V. Die Elemente x von $E\left(\lambda\right)$ sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert λ von $\varphi$.

Geometrische Vielfachheit

Die Dimension des Eigenraums $E\left(\lambda\right)$ wird als geometrische Vielfachheit von λ bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit von λ.

Eigenschaften

• Existiert ein Eigenwert λ = 0 von $\varphi$, so ist der zugehörige Eigenraum $E\left(\lambda\right)$ gleich dem Kern von $\varphi$. Denn $\operatorname{Kern}\left(\varphi\right)=\left\{x\in V | \varphi\left(x\right)=0\right\}$ und nach Definition des Eigenraumes: $E\left(0\right)=\left\{x\in V | \varphi\left(x\right)=0x=0\right\}$.

• Die Summe von Eigenräumen $E\left(\lambda\right)$ zu n verschiedenen Eigenwerten λ ist direkt:

$\bigcap_{i=1}^n E(\lambda _i) = 0 \Rightarrow V \supseteq W = E(\lambda _1) \oplus ... \oplus E(\lambda _n)$

• Gilt im obigen Fall V = W, so besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren. In diesem Fall ist die Matrix A von $\varphi\in\operatorname{End}\left(V\right)$ bezüglich einer Basis von V diagonalisierbar, das heißt die Matrix A' von $\varphi$ bezüglich der Basis von V aus Eigenvektoren hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonalen von A' stehen dann die Eigenwerte von $\varphi$:

$A'= \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}$

• Ist $\varphi \in End(V)$ selbstadjungiert, so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander orthogonal.

Siehe auch

• Lineare Abbildung
• Vektorraum

Literatur

Gerd Fischer: Lineare Algebra, ISBN 3-528-03217-0