Grüblersche Gleichung

Die Grüblerschen Gleichungen wurden 1917 und 1918 fast gleichzeitig und unabhängig voneinander sowohl von Martin Fürchtegott Grübler (1851–1935) als auch von Maurice d'Ocagne aufgestellt.^[1][2] Sie werden in der Technik verwendet, um die Beweglichkeit von Getrieben zu beschreiben. Dabei werden die Beweglichkeiten der die Getriebeteile verbindenden Gelenke betrachtet. Zu unterscheiden ist, ob diese Bewegungen in der Ebene (ebene Getriebe), auf einer sphärischen Fläche (sphärische Getriebe) oder beliebig im Raum (räumliche Getriebe) stattfinden.^[3]

Die Gleichungen

Allgemein

$F = \ T\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i$ ^[3]

Räumliches Getriebe

$F = \ 6\cdot (n-1-g) + \sum_{i=1}^g b_i$ ^[3]

Ebenes Getriebe

$F = \ 3\cdot (n-1-g)-2\cdot b-c$ ^[3]

dabei steht

F: Freiheitsgrad
T: Typ des Getriebes (T=6 für räumliches, T=3 für sphärisches oder ebenes Getriebe)
n: Anzahl der Getriebeglieder
g: Anzahl der Gelenke
b_i: Beweglichkeit eines einzelnen Gelenks i (b_i = 1, 2, ...)
c: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit b_i = 1
b: Anzahl der Gelenke mit Beweglichkeit b_i = 2 (z. B. Wälzen und Gleiten an den Berührungsstellen von Stirnradflanken)

Der als Freiheitsgrad F des Getriebes bezeichnete Wert muss F>1 sein, damit sich das Getriebe bewegen kann. Wenn F=1 ist, wird das Getriebe als zwangläufig bezeichnet. Es entspricht der üblichen Verwendung, dass ein Glied bewegt (angetrieben) wird und die anderen Glieder dem zwangläufig folgen. Bei F=2 benötigt das Getriebe zwei Antriebe (je einer auf je ein Glied), um es definiert zu bewegen.

Die Zwangläufigkeit eines Getriebes wird mit der sogenannten Grüblerschen Zwanglaufbedingung – einer entsprechenden Umstellung einer der Grüblerschen Gleichungen – geprüft. Für ebene Getriebe, die ausschließlich Gelenke mit b_i = 1 haben, muss folgende Beziehung gelten:

$2 \cdot g - 3 \cdot n + 4 = 0$ ^[4]

Diese Beziehung ergibt sich aus der für ebene Getriebe angegebenen Grüblerschen Gleichung durch Einsetzen von F=1, b=0 und c=g.

Einzelnachweise

1. ↑ Friedrich Schmelz, Erich Aucktor: Gelenke und Gelenkwellen: Berechnung, Gestaltung, Anwendungen, 1988, Springer-Verlag, ISBN 3540417591
2. ↑ Martin Fürchtegott Grübler: Getriebelehre. Eine Theorie des Zwangslaufes und der ebenen Mechanismen. VDM Verlag, 2007, ISBN 3836404265
3. ↑ ^{a b c d} Denis Jung: Formelsammlung Getriebelehre, Seite 5 [1]
4. ↑ Siegfried Hildebrand: Feinmechanische Bauelemente, Hanser 1968, Seite 628