Homothetie

Homothetie

In der Geometrie versteht man unter einer Homothetie eine Affinität, also eine bijektive affine Abbildung f: A \rightarrow A eines affinen Raumes A in sich, derart, dass für jede Gerade g\subset A die Bildgerade f(g) parallel zu g verläuft: g \parallel f(g).

Zu den Homothetien zählen genau die folgenden Abbildungen

Während bei der Identität naturgemäß alle Punkte fix bleiben, besitzt eine echte Translation keinen Fixpunkt, und eine echte (k\not=1) zentrische Streckung genau einen Fixpunkt, nämlich das Streckungszentrum Z.

Im Fall einer zentrischen Streckung, ist die zugehörige lineare Abbildung T(f) : T(A) \rightarrow T(A) auf dem Vektorraum T(A) der Translationen von A stets von der Form T(f) (v) = k\cdot v. Daher bezeichnet man gelegentlich lineare Abbildungen, die jeden Vektor um einen festen Skalar ungleich Null strecken, als (lineare) Homothetien.

Literatur


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