Homothetie

In der Geometrie versteht man unter einer Homothetie eine Affinität, also eine bijektive affine Abbildung $f: A \rightarrow A$ eines affinen Raumes A in sich, derart, dass für jede Gerade $g\subset A$ die Bildgerade f(g) parallel zu g verläuft: $g \parallel f(g).$

Zu den Homothetien zählen genau die folgenden Abbildungen

• die identische Abbildung
• eine Translation, also eine Parallelverschiebung um einen konstanten Vektor
• eine zentrische Streckung um ein beliebiges Zentrum $Z\in A$ mit einem beliebigen Streckfaktor $k\not=0.$

Während bei der Identität naturgemäß alle Punkte fix bleiben, besitzt eine echte Translation keinen Fixpunkt, und eine echte ($k\not=1$) zentrische Streckung genau einen Fixpunkt, nämlich das Streckungszentrum Z.

Im Fall einer zentrischen Streckung, ist die zugehörige lineare Abbildung $T(f) : T(A) \rightarrow T(A)$ auf dem Vektorraum T(A) der Translationen von A stets von der Form $T(f) (v) = k\cdot v.$ Daher bezeichnet man gelegentlich lineare Abbildungen, die jeden Vektor um einen festen Skalar ungleich Null strecken, als (lineare) Homothetien.

Literatur

• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2. Vieweg, 1988. ISBN 978-3-519-02212-1. Eingeschränkt Online: S. 492 in der Google Buchsuche