Hubbardmodell

Das Hubbard-Modell ist eine grobe Näherungsmethode der Festkörperphysik. Es liefert eine Beschreibung für das Verhalten von Elektronen in einem als starr angenommenen Gitter. Dabei werden die abstoßenden Coulomb-Kräfte nur für Elektronen, die sich am gleichen Gitterplatz aufhalten, berücksichtigt. Der kinetische Elektronenenergieanteil wird durch ein Überlapp-Integral t modelliert, das aus dem Tight-Binding-Modell kommt.

Der Hamilton-Operator nimmt folgende Form an:

$H = U \sum_i c^\dagger_{i,\uparrow} c_{i,\uparrow} c^\dagger_{i,\downarrow} c_{i,\downarrow} - t \sum_{\langle ij \rangle \sigma} c^\dagger_{i \sigma} c_{j \sigma}$

Dabei stehen

• die Indizes i und j für den Gitterplatz,
• σ für die beiden Spinrichtungen $\uparrow$ und $\downarrow$
• c^† und c für die fermionischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.
• U legt die Stärke der Coulomb-Abstoßung fest und
• t wird aus dem Überlappen von Wellenfunktionen an benachbarten Gitterplätzen berechnet.

Die Summe des Coulombterms ermittelt die doppelt besetzten Gitterplätze. Daher lässt sich der Wert von U durch folgendes Integral ermitteln:

$U=\int dr_1 \int dr_2 \left| \Psi (r_1 - x_i) \right|^2 \frac{e^2}{\left| r_1 - r_2 \right|} \left| \Psi (r_2 - x_i) \right|^2$

In der Summe für das Hüpfen der Elektronen bedeutet <ij>, dass ausschließlich über benachbarte Gitterplätze summiert wird. Außerdem wird durch die Operatorenkonstellation automatisch das Pauli-Prinzip beachtet.

Das Hubbard-Modell ist das einfachste Modell, an dem man das Zusammenspiel von kinetischer Energie, Coulomb-Abstoßung, Pauli-Prinzip und Bandstruktur studieren kann. Trotz seiner einfachen Struktur ist es jedoch bisher nicht gelungen, die exakte Lösung dieses Modells, außer in den Grenzfällen von einer und unendlich vielen Dimensionen, zu finden.

Es wird z.B. im Zusammenhang mit

• Eigenschaften von Elektronen, die relativ stark lokalisiert sind;
• Bandmagnetismus (Fe, Co, Ni, ...);
• Metall-Isolator-Übergang;
• Hochtemperatur-Supraleitung

diskutiert.