Hölder-stetig

Hölder-stetig

Die Hölder-Stetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitz-Stetigkeit.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei  U \subset \mathbb{R} offen und  0 < \alpha \le 1. Eine Abbildung f:U\rightarrow \R heißt hölderstetig zum Exponenten α genau dann, wenn eine positive reelle Zahl C existiert, so dass für alle x,y\in U gilt:

\mid f(x)-f(y)\mid\leq C\mid x-y \mid^\alpha.

Eine Verallgemeinerung auf metrische Räume ist in natürlicher Weise gegeben.

Eigenschaften hölderstetiger Funktionen

Für α = 1 ergibt sich die Lipschitz-Stetigkeit. Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes \varepsilon>0 etwa \delta:=(\varepsilon/C)^{1/\alpha}. Dann folgt aus |x-y|\le\delta wie gewünscht |f(x)-f(y)|\le\varepsilon. Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt:

Sei a\in(0,1) eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall [0,a] gemäß

f(x):=\left\{\begin{array}{cl}-1/\ln x&\mbox{für }0<x\le a\\0&\mbox{bei }x=0\end{array}\right.

definierte Funktion f ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten C > 0 und \alpha\in(0,1] mit f(x)\le Cx^\alpha für alle x\in(0,a], also insbesondere

C\ge\lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{-x^{-\alpha}}{\ln x}=\lim\limits_{x\downarrow 0}\alpha x^{-\alpha}

laut Regel von L’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Hölder-Raum

Ist \Omega\subseteq\mathbb{R}^n offen und beschränkt, so ist

C^{k,\alpha}(\Omega):=\left \{ f: \Omega \to \R \Big | ||f||_{C^{k,\alpha}} < \infty \right \}

mit der Norm

\|f\|_{C^{k,\alpha}}:=\sum_{|\beta|\leq k}\underbrace{\sup_{x\in\overline{\Omega}}{\|D^\beta f(x)\|}}_{=:\, ||D^\beta f(x)||_{C(\Omega)}}+\sum_{|\beta|= k}\underbrace{\sup_{x\neq y}{\frac{|D^\beta f(x)-D^\beta f(y)|}{|x-y|^\alpha}}}_{=:\,[D^\beta f]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}}

ein Banachraum, der Hölder-Raum. Dabei sind die Laufvariablen β als Multiindizes zu verstehen. In der ersten Summe wird über die Supremumsnormen, in der zweiten über die so genannten Hölder-Halbnormen summiert.

Literatur

  • H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer-Verlag, 2002

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