Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für L^p-Räume.

Aussage

Höldersche Ungleichung

Sei S ein Maßraum, $1 \leq p, q \leq \infty$ mit $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$, sei f aus L^p(S) und g aus L^q(S).

Dann ist

$fg \in L^1(S)$

und es gilt:

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q$.

Man bezeichnet q als den zu p konjugierten Hölder-Exponenten.

Spezialfälle

Sei S die Menge $\{1,\ldots,n \}$, ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q} ,$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen $x_1, \ldots, x_n, y_1 , \ldots , y_n$. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für p = q = 2 erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Verallgemeinerung

Es seien $p_j \in [1, \infty], j = 1, \ldots, m$ sowie $\textstyle \frac{1}{r} := \sum_{j=1}^m\frac{1}{p_j}$ und $f_j \in L^{p_j}(S)$ für alle $j =1,\ldots,m$.

Dann folgt

$\prod_{j=1}^mf_j \in L^r(S)$

und es gilt die Abschätzung

$\|\prod_{j=1}^mf_j\|_r \leq \prod_{j=1}^m\|f_j\|_{p_j}.$

Umgekehrte höldersche Ungleichung

Es sei $g(x) \neq 0$ für fast alle $x \in S$ und S sei keine Nullmenge.

Dann gilt für alle r > 1 die umgekehrte höldersche Ungleichung

$\int_S|fg| \geq \left(\int_S|f|^{\frac{1}{r}}\right)^r\left(\int_S|g|^{-\frac{1}{r-1}}\right)^{-(r-1)}.$

Beweise

Beweis der hölderschen Ungleichung

Für $p=1, q=\infty$ (und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass $1 < p,q < \infty$ gilt. Ohne Einschränkung seien $\|f\|_p > 0$ und $\|g\|_q > 0$. Nach der youngschen Ungleichung gilt:

$AB \leq \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}$

für alle $A,B \geq 0$. Setze hierin speziell $A := \tfrac{|f(x)|}{\|f\|_p},\, B := \tfrac{|g(x)|}{\|g\|_q}$ ein. Integration liefert

$\frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q}\int_S|fg| \leq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,$

was die höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der Verallgemeinerung

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über m geführt. Der Fall m = 1 ist trivial. Sei also nun $m \geq 2$ und ohne Einschränkung sei $p_1 \leq \cdots \leq p_m$. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: $p_m = \infty.$ Dann ist $\textstyle \frac{1}{r} = \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j}.$ Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

$\|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\cdots f_{m-1}\|_r \leq \|f_m\|_\infty\|f_1\|_{p_1}\cdots\|f_{m-1}\|_{p_{m-1}}.$

Fall 2: $p_m < \infty$. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten $\tfrac{p_m}{p_m-r}, \tfrac{p_m}{r}$ gilt

$\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^r|f_m|^r \leq \left(\int_S|f_1\cdots f_{m-1}|^{\frac{rp_m}{p_m-r}}\right)^{\frac{p_m-r}{p_m}}\left(\int_S|f_m|^{p_m}\right)^{\frac{r}{p_m}},$

also $\textstyle \|f_1\cdots f_m\|_r \leq \|f_1\cdots f_{m-1}\|_{\tfrac{rp_m}{p_m-r}}\|f_m\|_{p_m}$. Nun ist $\textstyle \sum_{j=1}^{m-1}\frac{1}{p_j} = \frac{1}{r} - \frac{1}{p_m} = \frac{p_m-r}{rp_m}$. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung

Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten p und $q := \tfrac{p}{p-1}$ wählt. Man erhält damit:

$\int_S|f|^{\frac{1}{r}} = \int_S\left(|fg|^{\frac{1}{r}}\cdot|g|^{-\frac{1}{r}}\right) \leq \left(\int_S|fg|\right)^{\frac{1}{r}}\left(\int_S|g|^{-\frac{r'}{r}}\right)^{\frac{1}{r'}}.$

Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.

Anwendungen

Beweis der Minkowski-Ungleichung

Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im L^p) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen

Seien $f \in L^p(S) \cap L^q(S)$ und $1 \leq q \leq r \leq p$.

Dann folgt $f \in L^r(S)$, und es gilt die Interpolationsungleichung

$\|f\|_r \leq \|f\|_p^{1-\theta}\|f\|_q^\theta$

mit $\tfrac{1}{r} =: \tfrac{1-\theta}{p} + \tfrac{\theta}{q}$ beziehungsweise $\theta:= \tfrac{q}{r}\tfrac{p-r}{p-q}$ für $q \neq p$.

Beweis: Ohne Einschränkung sei q < r < p. Fixiere $t \in (0, 1)$ mit r = tp + (1 − t)q. Beachte, dass $\tfrac{1}{t}$ und $\tfrac{1}{1-t}$ konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt

$\int_S|f|^r = \int_S|f|^{tp}|f|^{(1-t)q} \leq \left(\int_S|f|^p\right)^t\left(\int_S|f|^q\right)^{1-t}.$

Potenzieren der Ungleichung mit $\tfrac{1}{r}$ und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von Young

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

$\|f \star g\|_r \leq \|f\|_p\|g\|_q$

für $\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 + \tfrac{1}{r}$ und $p, q, r \geq 1$.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.