- Hölder-Ungleichung
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In der mathematischen Analysis gehört die höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume.
Inhaltsverzeichnis
Aussage
Höldersche Ungleichung
Sei S ein Maßraum,
mit
, sei f aus Lp(S) und g aus Lq(S).
Dann ist
und es gilt:
.
Man bezeichnet q als den zu p konjugierten Hölder-Exponenten.
Spezialfälle
Sei S die Menge
, ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung
gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen
. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.
Für p = q = 2 erhält man als Spezialfall die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Verallgemeinerung
Es seien
sowie
und
für alle
.
Dann folgt
und es gilt die Abschätzung
Umgekehrte höldersche Ungleichung
Es sei
für fast alle
und S sei keine Nullmenge.
Dann gilt für alle r > 1 die umgekehrte höldersche Ungleichung
Beweise
Beweis der hölderschen Ungleichung
Für
(und umgekehrt) ist die Aussage der hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass
gilt. Ohne Einschränkung seien
0" border="0"> und
0" border="0">. Nach der youngschen Ungleichung gilt:
für alle
. Setze hierin speziell
ein. Integration liefert
was die höldersche Ungleichung impliziert.
Beweis der Verallgemeinerung
Der Beweis wird per vollständiger Induktion über m geführt. Der Fall m = 1 ist trivial. Sei also nun
und ohne Einschränkung sei
. Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:
Fall 1:
Dann ist
Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann
Fall 2:
. Nach der (üblichen) hölderschen Ungleichung für die Exponenten
gilt
also
. Nun ist
. Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.
Beweis der umgekehrten hölderschen Ungleichung
Die umgekehrte höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten p und
wählt. Man erhält damit:
Umformen dieser Ungleichung liefert die umgekehrte höldersche Ungleichung.
Anwendungen
Beweis der Minkowski-Ungleichung
Mit der hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im Lp) leicht beweisen.
Interpolationsungleichung für Lebesgue-Funktionen
Seien
und
.
Dann folgt
, und es gilt die Interpolationsungleichung
mit
beziehungsweise
für
.
Beweis: Ohne Einschränkung sei q < r < p. Fixiere
mit r = tp + (1 − t)q. Beachte, dass
und
konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der hölderschen Ungleichung folgt
Potenzieren der Ungleichung mit
und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.
Beweis der Faltungsungleichung von Young
Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)
für
und
.
Literatur
- Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag, Basel/Boston/Berlin 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
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