Hölder-Raum

Der Hölder-Raum (nach Otto Hölder) ist in der Mathematik ein Banachraum von Funktionen, der in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen eine Rolle spielt. Dort sind Hölder-Räume eine natürliche Wahl, um Existenztheorie betreiben zu können.

Definition

Sei $U \subset \R^n$. Der Hölder-Raum C^k,γ(U) ist die Menge aller Funktionen $u:U\rightarrow\R$ mit $u \in C^k(U)$, für die folgende Norm endlich ist:

$\|u\|_{C^{k,\gamma}(U)} := \sum_{|\alpha| \le k}\|D^\alpha u\|_{C(U)} + \sum_{|\alpha|=k}[D^\alpha u]_{C^{0,\gamma}(U)}$.

Hier bezeichnet

$\|D^\alpha u\|_{C(U)} := \sup\left\{|D^\alpha u(x)|\ |\ x \in U\right\}$

die Supremumsnorm und

$[D^\alpha u]_{C^{0,\gamma}(U)} := \sup\left\{\left.\frac{|D^\alpha u(x) - D^\alpha u(y)|}{|x-y|^\gamma}\ \right|\ x,y \in U, x \ne y\right\}$

eine Halbnorm. Für C^0,γ(Ω) schreibt man auch C^γ(Ω).

Der Hölder-Raum ist also der Raum der k-mal stetig differenzierbaren, beschränkten Funktionen von U nach $\R$, deren k-ten partiellen Ableitungen Hölder-stetig zu einer Konstanten $\gamma \in (0,1]$ und ebenfalls beschränkt sind. Im Spezialfall γ = 1 spricht man meistens von Lipschitz-Stetigkeit.

Satz von Kellogg

Sei $\gamma \in (0, 1]$ und $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ ein beschränktes Gebiet mit C^2,γ-Rand sowie L ein streng elliptischer Operator in Ω mit Koeffizienten in C^γ(Ω), d. h.

$Lu := \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x)\cdot(D^{ij}u)(x) + \sum_{i=1}^n b^i(x)\cdot(D^iu)(x) + c(x)\cdot u(x)$,

wobei $a^{ij}, b^i, c: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ in C^γ(Ω) liegen und die Matrix $A(x) := (a^{ij}(x))_{i,j=1,\ldots,n}$ die Elliptizitätsbedingung

$\langle A(x)\xi, \xi\rangle \geq \lambda\|\xi\|^2$ für alle $x \in \Omega, \xi \in \mathbb{R}^n$

mit einer von x,ξ unabhängigen Konstanten λ > 0 erfüllt. Weiter sei die Funktion $c \leq 0$ nichtpositiv sowie $f \in C^\gamma(\Omega)$ und $\varphi \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{2,\gamma}(\Omega)$. Dann besitzt die Gleichung

$\left\{\begin{array}{rlll}Lu&=&f&\textrm{in}\ \Omega\ ,\\u&=&\varphi&\textrm{auf}\ \partial\Omega\ ,\end{array}\right.$

eine eindeutige klassische Lösung $u \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{2,\gamma}(\Omega)$.

Da die obige Gleichung keine klassische Lösung u besitzt, falls von f lediglich Stetigkeit gefordert wird, ist die Kontrolle des Stetigkeitsmoduls von Relevanz für die Existenztheorie in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hölder-Räume sind eine Klasse von Funktionen, innerhalb derer klassische Existenztheorie betrieben werden kann.

Siehe auch

• Hölder-Stetigkeit

Literatur

• H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-43947-1.
• D. Gilbarg, N. S. Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. In: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 224, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1977, ISBN 3-540-08007-4.