Inkorrekt gestellte Probleme

Ein mathematisches Problem heißt nach Jacques Salomon Hadamard korrekt gestellt (oder auch gut gestellt), wenn gilt:

1. Das Problem hat eine Lösung (Existenz);
2. Diese Lösung ist eindeutig bestimmt (Eindeutigkeit);
3. Diese Lösung hängt stetig von den Eingangsdaten ab (Stabilität).

Ist eine dieser Bedingungen nicht erfüllt, so heißt das Problem inkorrekt gestellt (oder auch schlecht gestellt).

Eine heuristische Erklärung für diese Definition lässt sich so geben: Damit Probleme der Physik oder anderer Naturwissenschaften oder der Technik mit Hilfe der Mathematik gelöst werden können, müssen mathematische Modelle entwickelt werden, die dann mit mathematischen Methoden behandelt werden können. Da aber der zu beschreibende Vorgang ein realer physikalischer (etc.) Vorgang ist, der existiert und sich stetig verhält (natura non facit saltus), kann das mathematische Modell höchstens dann korrekt formuliert sein, wenn es eine eindeutige Lösung hat. Eine Formulierung, die nicht die oben genannten Bedingungen erfüllt, heißt daher inkorrekt gestellt.

Das Anfangswertproblem zur Wärmeleitungsgleichung führt beispielsweise auf korrekt gestellte Probleme. Dagegen ist das entsprechende inverse Problem (gegeben eine Lösung, bestimme die Anfangsdaten) schlecht gestellt.

Es hat sich gezeigt, dass sehr viele interessante mathematische Probleme (z.B. in der Computertomographie, der Lagerstättenexploration) diese Korrektheitsbedingungen verletzen. So können Messfehler dazu beitragen, dass Bedingung 1 verletzt wird. Die Struktur des Problems kann dazu führen, dass Bedingung 3 verletzt wird.

Für korrekt gestellte Probleme ist im Regelfall ein stabiler numerischer Lösungsalgorithmus bekannt, schlecht gestellte Probleme müssen meist zunächst umformuliert werden, beispielsweise mittels Regularisierungstechniken.

Siehe auch: Kondition (Mathematik)