Intransitivität (Mathematik)

Eine Relation R in einer Menge M heißt intransitiv, wenn es mindestens drei Zahlen $a,b,c \in \mathbb{M}$ gibt, für die aRb und bRc gelten, aber nicht aRc. Eine Relation ist also intransitiv, wenn sie nicht transitiv ist. Ursprünglich wurden intransitive Relationen vom Marquis de Condorcet im Zusammenhang von Wahlen untersucht (siehe auch Condorcet-Paradoxon).

Formale Definition

Ist M eine Menge und $R \subseteq M \times M$ eine zweistellige Relation auf M, dann heißt R intransitiv, wenn gilt:

$\exists x, y, z \in M: xRy \and yRz \and \neg xRz$

Beispiele

Ein anschauliches Beispiel für eine intransitive Präferenzrelation ist das Spiel Schere, Stein, Papier. Hierbei gewinnt die Wahl von Stein gegen Schere, Schere gegen Papier und Papier gegen Stein. Ein weiteres Beispiel sind Intransitive Würfel.

So gilt bei 3 Würfeln mit folgenden Augenzahlen

(A) 4,4,4,4,0,0

(B) 3,3,3,3,3,3

(C) 6,6,2,2,2,2

folgendes

A schlägt dann B in $\frac{2}{3}$ der Fälle mit der "4"

B schlägt C, da C in $\frac{2}{3}$ der Fälle "2" zeigt und verliert

C gewinnt gegen A mit einer Wahrscheinlichkeit $\frac{5}{9}$

Man kann aus der Tatsache das Würfel A Würfel B schlägt und Würfel B Würfel C also nicht schlußfolgern das Würfel A Würfel C schlägt.

Statt der Würfel kann man auch mit Gewichtungen oder Punktwerten rechnen.